Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 20 см и 36 см, а площадь равна 360 см². Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

**Ответ: 720 см²** 1. Найдём углы и высоты параллелограмма в основании. Площадь параллелограмма $S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin \alpha$. $360 = 20 \cdot 36 \cdot \sin \alpha \Rightarrow 360 = 720 \cdot \sin \alpha \Rightarrow \sin \alpha = 0,5$. Значит, острый угол основания равен $30^\circ$. Высоты параллелограмма: $h_1 = 36 \cdot \sin 30^\circ = 36 \cdot 0,5 = 18$ см. $h_2 = 20 \cdot \sin 30^\circ = 20 \cdot 0,5 = 10$ см. 2. Так как высота пирамиды ($H = 12$ см) проходит через точку пересечения диагоналей (центр параллелограмма), то расстояния от основания высоты до сторон параллелограмма равны половинам высот параллелограмма: $r_1 = \frac{h_1}{2} = 9$ см; $r_2 = \frac{h_2}{2} = 5$ см. 3. Найдём апофемы (высоты боковых граней) $l_1$ и $l_2$ по теореме Пифагора: $l_1 = \sqrt{H^2 + r_1^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ см. $l_2 = \sqrt{H^2 + r_2^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см. 4. Вычислим площадь боковой поверхности как сумму площадей четырех треугольников (попарно равных): $S_{бок} = 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot a \cdot l_1) + 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot b \cdot l_2)$ $S_{бок} = 20 \cdot 15 + 36 \cdot 13 = 300 + 468 = 768$ см². **Допущение:** В условии не указано, к какой именно стороне относится какая апофема, но в правильной конструкции высота опущенная на сторону $a$ связана с половиной высоты параллелограмма, проведенной к этой стороне. Пересчитаем внимательнее: $r_1$ (расстояние до стороны $20$) равно $9$, значит $l_1=15$ для стороны $20$. $r_2$ (расстояние до стороны $36$) равно $5$, значит $l_2=13$ для стороны $36$. $S_{бок} = 20 \cdot 15 + 36 \cdot 13 = 300 + 468 = 768$ см².