Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 2a, высота пирамиды равна a√2. Найдите: а) сторону основания пирамиды; б) угол между боковой гранью и основанием; в) площадь поверхности пирамиды; г) расстояние от центра основания пирамиды до плоскости боковой грани.

Фотография

Ответ ассистента

Ответ: а) $a\sqrt{8}$ (или $2a\sqrt{2}$) б) $45^{\circ}$ в) $8a^2(\sqrt{2} + 1)$ г) $a$ Решение: Пусть $h = a\sqrt{2}$ — высота пирамиды ($SO$), $l = 2a$ — апофема ($SK$), где $K$ — середина стороны основания $BC$. В правильной четырехугольной пирамиде высота, апофема и отрезок, соединяющий центр основания с серединой стороны ($OK = \frac{b}{2}$, где $b$ — сторона основания), образуют прямоугольный треугольник $SOK$. а) По теореме Пифагора в $\triangle SOK$: $OK^2 = l^2 - h^2 = (2a)^2 - (a\sqrt{2})^2 = 4a^2 - 2a^2 = 2a^2$ $OK = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$ Так как $OK = \frac{b}{2}$, то сторона основания $b = 2 \cdot OK = 2a\sqrt{2} = a\sqrt{8}$. б) Угол между боковой гранью и основанием — это линейный угол двугранного угла $\angle SKO$: $\cos \angle SKO = \frac{OK}{SK} = \frac{a\sqrt{2}}{2a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\angle SKO = 45^{\circ}$. в) Площадь поверхности $S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}$: $S_{\text{осн}} = b^2 = (2a\sqrt{2})^2 = 8a^2$ $S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot l = \frac{1}{2} \cdot (4 \cdot 2a\sqrt{2}) \cdot 2a = 8a^2\sqrt{2}$ $S_{\text{полн}} = 8a^2 + 8a^2\sqrt{2} = 8a^2(1 + \sqrt{2})$. г) Расстояние от центра основания $O$ до плоскости боковой грани — это высота $OH$ в прямоугольном $\triangle SOK$, проведенная к гипотенузе $SK$: $OH = \frac{SO \cdot OK}{SK} = \frac{a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2}}{2a} = \frac{2a^2}{2a} = a$.

Задать вопрос История вопросов

Другие решения

Что ещё задавали пользователи

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения