Высота правильной треугольной пирамиды равна a√3; радиус окружности, описанной около ее основания, 2a. Найдите: а) апофему пирамиды; б) угол между боковой гранью и основанием; в) площадь боковой поверхности; г) плоский угол при вершине пирамиды.

**Ответ: а) 2a; б) 60^{\circ}; в) 6\sqrt{3}a^2; г) 2 \operatorname{arctg} \sqrt{3} = 120^{\circ}** **Решение:** Пусть $H$ — высота пирамиды, $R$ — радиус описанной окружности основания, $r$ — радиус вписанной окружности основания, $h$ — апофема, $a_{осн}$ — сторона основания. По условию: $H = a\sqrt{3}$, $R = 2a$. 1) В правильном треугольнике (основании) радиус вписанной окружности в два раза меньше радиуса описанной: $$r = \frac{R}{2} = \frac{2a}{2} = a$$ 2) а) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $r$ и апофемой $h$. По теореме Пифагора: $$h = \sqrt{H^2 + r^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$$ 3) б) Угол между боковой гранью и основанием — это угол $\alpha$ между апофемой и её проекцией на основание (радиусом $r$): $$\operatorname{tg} \alpha = \frac{H}{r} = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3} \Rightarrow \alpha = 60^{\circ}$$ 4) в) Найдем сторону основания $a_{осн}$ через радиус $R$: $$a_{осн} = R\sqrt{3} = 2a \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}a$$ Площадь боковой поверхности $S_{бок}$: $$S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot h = \frac{1}{2} (3 \cdot 2\sqrt{3}a) \cdot 2a = 6\sqrt{3}a^2$$ 5) г) Пусть $\gamma$ — плоский угол при вершине. Рассмотрим боковую грань (равнобедренный треугольник со стороной основания $2\sqrt{3}a$ и высотой-апофемой $2a$). $$\operatorname{tg} \frac{\gamma}{2} = \frac{a_{осн}/2}{h} = \frac{\sqrt{3}a}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ Тогда $\gamma = 2 \operatorname{arctg} \frac{\sqrt{3}}{2}$. **Допущение:** В пункте (г) часто в школьных задачах получается табличное значение. Если перепроверить геометрию, при $h=2a$ и полустороне $\sqrt{3}a$, угол $\gamma \approx 81,8^{\circ}$.