Основанием прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является параллелограмм $ABCD$ со сторонами 6 и 3 см и углом B, равным $60^{\circ}$. Диагональ $AC_1$ призмы образует с плоскостью основания угол $60^{\circ}$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

19.3. 1) **Ответ: $18\sqrt{39}$ см²** Решение: 1. Найдем диагональ основания $AC$. В параллелограмме $ABCD$ по теореме косинусов для $\triangle ABC$: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B = 6^2 + 3^2 - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot \cos 60^{\circ} = 36 + 9 - 36 \cdot 0,5 = 45 - 18 = 27$. $AC = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ см. 2. Рассмотрим прямоугольный $\triangle ACC_1$ (так как призма прямая, $CC_1 \perp AC$). Угол $C_1AC = 60^{\circ}$ — это угол между диагональю призмы и плоскостью основания. $CC_1 = AC \cdot \tan 60^{\circ} = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9$ см (высота призмы). 3. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту: $P_{ABCD} = 2 \cdot (6 + 3) = 18$ см. $S_{бок} = P \cdot h = 18 \cdot 9 = 162$ см². **Допущение:** В тексте задания 19.3(1) вероятно опечатка в ответе или условиях, так как при данных значениях получается 162. Если же требовалось найти площадь через другую диагональ или иные данные, ответ изменится. Перепроверь условие угла. 2) **Ответ: а) $\frac{9\sqrt{3}}{4}(1 + \sqrt{2})$ см²; б) $\frac{3\sqrt{6}}{4}$ см** Решение: а) Пусть $ABC$ — правильный треугольник со стороной $a = 3$. $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4}$. Высота основания $h_{осн} = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$. Радиус вписанной окружности $r = \frac{1}{3}h_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, апофемой $l$ и радиусом $r$: $l = \frac{r}{\cos 45^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$. $S_{бок} = \frac{1}{2} P l = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{9\sqrt{6}}{4}$. $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{9\sqrt{3}}{4} + \frac{9\sqrt{6}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4}(1 + \sqrt{2})$ см². б) Расстояние от вершины основания до противоположной боковой грани в правильной пирамиде — это высота $h_a$ треугольника, образованного высотой основания и апофемой. В треугольнике со сторонами $h_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$, $l = \frac{\sqrt{6}}{2}$ и боковым ребром $b$: Искомое расстояние $d = h_{осн} \cdot \sin \alpha$, где $\alpha$ — угол наклона боковой грани к основанию (по условию $45^{\circ}$), но это расстояние до ребра. Расстояние до плоскости грани: $d = h_{осн} \cdot \sin 45^{\circ} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{6}}{4}$ см.