Кирилл задумал два натуральных числа. Он забыл задуманные числа, но точно помнит, что их сумма равна 25, а про разность абсолютно уверен, что она меньше 15, но больше 11. Какие два числа задумал Кирилл? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

**Ответ: 19 и 6.** Пусть задуманные натуральные числа будут $x$ и $y$ ($x > y$). По условию задачи составим систему условий: 1) $x + y = 25$ 2) $11 < x - y < 15$ Так как числа $x$ и $y$ — натуральные, их разность $x - y$ также должна быть целым числом. В интервале между 11 и 15 находятся три целых числа: 12, 13 и 14. Рассмотрим все возможные случаи значения разности: 1. Если $x - y = 12$: Сложим уравнения: $(x + y) + (x - y) = 25 + 12 \Rightarrow 2x = 37$. Число 37 не делится на 2 нацело, значит, целых решений нет. 2. Если $x - y = 13$: Сложим уравнения: $(x + y) + (x - y) = 25 + 13 \Rightarrow 2x = 38 \Rightarrow x = 19$. Найдем $y$: $19 + y = 25 \Rightarrow y = 6$. Оба числа натуральные, условие выполняется. 3. Если $x - y = 14$: Сложим уравнения: $(x + y) + (x - y) = 25 + 14 \Rightarrow 2x = 39$. Число 39 не делится на 2 нацело, целых решений нет. **Доказательство отсутствия других вариантов:** Сумма и разность двух целых чисел всегда имеют одинаковую четность (либо оба четные, либо оба нечетные). Так как сумма $25$ — нечетное число, то и разность должна быть нечетной. В диапазоне от 11 до 15 только одно нечетное число — 13. Следовательно, других решений в натуральных числах не существует.