Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках K и N соответственно. Найдите длину отрезка KN, если AD = 45, BC = 15, CN = 12, ND = 18.

**Ответ: 33** **Решение:** 1. Проведём диагональ $AC$. Пусть точка $O$ — точка пересечения прямой $KN$ и диагонали $AC$. 2. Рассмотрим $\triangle ABC$. Так как $KO \parallel BC$, то $\triangle AKO \sim \triangle ABC$. Из подобия треугольников на боковых сторонах трапеции и её диагонали отсекаются пропорциональные отрезки (по теореме Фалеса). Так как $KN \parallel AD \parallel BC$, то $\frac{AK}{KB} = \frac{DN}{NC}$. 3. В $\triangle ACD$ отрезок $ON$ параллелен основанию $AD$. Значит, $\triangle CON \sim \triangle CAD$. Коэффициент подобия $k = \frac{CN}{CD} = \frac{CN}{CN + ND} = \frac{12}{12 + 18} = \frac{12}{30} = 0,4$. Тогда $ON = AD \cdot k = 45 \cdot 0,4 = 18$. 4. В $\triangle ABC$ отрезок $KO$ параллелен основанию $BC$. Из подобия следует, что $\frac{AO}{AC} = \frac{DN}{DC} = \frac{18}{30} = 0,6$. Коэффициент подобия для $\triangle AKO$ и $\triangle ABC$ равен $\frac{AO}{AC} = 0,6$. Тогда $KO = BC \cdot 0,6 = 15 \cdot 0,6 = 9$. 5. Длина отрезка $KN = KO + ON = 9 + 18 = 33$.