Решите неравенство: (2*3^x - 10*3^{2-x}) / (3^x - 3^{2-x}) >= 1

Ответ: $x \in (1; 2]$. Решение: 1. Перенесем единицу в левую часть и приведем к общему знаменателю: $\frac{2 \cdot 3^x - 10 \cdot 3^{2-x}}{3^x - 3^{2-x}} - 1 \ge 0$ $\frac{2 \cdot 3^x - 10 \cdot 3^{2-x} - (3^x - 3^{2-x})}{3^x - 3^{2-x}} \ge 0$ $\frac{3^x - 9 \cdot 3^{2-x}}{3^x - 3^{2-x}} \ge 0$ 2. Преобразуем степени с отрицательным показателем ($3^{2-x} = \frac{9}{3^x}$): $\frac{3^x - 9 \cdot \frac{9}{3^x}}{3^x - \frac{9}{3^x}} \ge 0$ $\frac{3^x - \frac{81}{3^x}}{3^x - \frac{9}{3^x}} \ge 0$ 3. Сделаем замену $t = 3^x$, где $t > 0$. Умножим числитель и знаменатель на $t$, чтобы избавиться от дробей внутри дроби: $\frac{t^2 - 81}{t^2 - 9} \ge 0$ $\frac{(t - 9)(t + 9)}{(t - 3)(t + 3)} \ge 0$ 4. Так как $t = 3^x > 0$, то множители $(t + 9)$ и $(t + 3)$ всегда положительны. Неравенство упрощается: $\frac{t - 9}{t - 3} \ge 0$ 5. Решим методом интервалов для $t$: Числитель равен 0 при $t = 9$. Знаменатель равен 0 при $t = 3$. Получаем интервалы: $t \in (0; 3) \cup [9; +\infty)$. 6. Обратная замена: 1) $3^x < 3 \implies x < 1$ 2) $3^x \ge 9 \implies 3^x \ge 3^2 \implies x \ge 2$ 7. Проверим ОДЗ (знаменатель не равен 0): $3^x - 3^{2-x} \neq 0 \implies x \neq 2-x \implies 2x \neq 2 \implies x \neq 1$. Это условие уже учтено строгим знаком в первом промежутке. Однако, при подстановке значений из интервала $x < 1$ (например, $x=0$) в исходное неравенство: $\frac{2 \cdot 1 - 10 \cdot 9}{1 - 9} = \frac{2-90}{-8} = \frac{-88}{-8} = 11 \ge 1$ — верно. Но проверим преобразование в пункте 1: $3^x - 9 \cdot 3^{2-x} = 3^x - 9 \cdot \frac{9}{3^x}$. При $x=0$: $1 - 81 = -80$. Знаменатель: $1 - 9 = -8$. Итого $10 \ge 0$. Вернемся к шагу 5: интервалы для $\frac{t-9}{t-3} \ge 0$ это $t < 3$ или $t \ge 9$. $3^x < 3 \implies x < 1$ $3^x \ge 9 \implies x \ge 2$ **Допущение:** В некоторых учебных программах рассматриваются ограничения на область определения показательной функции в знаменателе. Перепроверим знаки на интервалах для $x$: - Если $x=0$: $\frac{2-90}{1-9} = 11 \ge 1$ (верно). - Если $x=1.5$: $\frac{2\sqrt{27}-10\sqrt{3}}{\sqrt{27}-\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}-10\sqrt{3}}{3\sqrt{3}-\sqrt{3}} = \frac{-4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = -2 \ge 1$ (ложно). - Если $x=3$: $\frac{2\cdot 27 - 10\cdot \frac{1}{3}}{27 - \frac{1}{3}} = \frac{54 - 3.33}{26.66} \approx 1.9 \ge 1$ (верно). Объединяя результаты: $x \in (-\infty; 1) \cup [2; +\infty)$.