Решите неравенство $4 \cdot 4^{x^2+2x-5} - 33 \cdot 2^{x^2+2x-5} + 8 \geq 0$

Решим неравенство $4 \cdot 4^{x^2+2x-5} - 33 \cdot 2^{x^2+2x-5} + 8 \geq 0$. Перепишем неравенство, используя свойство степеней $4^a = (2^2)^a = 2^{2a}$: $$4 \cdot (2^2)^{x^2+2x-5} - 33 \cdot 2^{x^2+2x-5} + 8 \geq 0$$ $$4 \cdot 2^{2(x^2+2x-5)} - 33 \cdot 2^{x^2+2x-5} + 8 \geq 0$$ $$4 \cdot (2^{x^2+2x-5})^2 - 33 \cdot 2^{x^2+2x-5} + 8 \geq 0$$ Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^{x^2+2x-5}$. Так как $2$ в любой степени всегда больше нуля, то $t > 0$. Получаем квадратное неравенство относительно $t$: $$4t^2 - 33t + 8 \geq 0$$ Найдем корни квадратного уравнения $4t^2 - 33t + 8 = 0$ с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = (-33)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 8 = 1089 - 128 = 961$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$$ Корни уравнения: $$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{33 - 31}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$ $$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{33 + 31}{2 \cdot 4} = \frac{64}{8} = 8$$ Поскольку это парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $t^2$ равен $4 > 0$), неравенство $4t^2 - 33t + 8 \geq 0$ выполняется, когда $t \leq \frac{1}{4}$ или $t \geq 8$. Учитывая, что $t > 0$, получаем: 1. $0 < t \leq \frac{1}{4}$ 2. $t \geq 8$ Теперь вернемся к замене $t = 2^{x^2+2x-5}$. **Случай 1:** $0 < 2^{x^2+2x-5} \leq \frac{1}{4}$ Так как $2^{x^2+2x-5}$ всегда больше нуля, то $0 < 2^{x^2+2x-5}$ выполняется автоматически. Рассмотрим $2^{x^2+2x-5} \leq \frac{1}{4}$. Представим $\frac{1}{4}$ как степень двойки: $\frac{1}{4} = 2^{-2}$. $$2^{x^2+2x-5} \leq 2^{-2}$$ Так как основание степени $2 > 1$, то при сравнении показателей знак неравенства сохраняется: $$x^2+2x-5 \leq -2$$ $$x^2+2x-3 \leq 0$$ Найдем корни квадратного уравнения $x^2+2x-3 = 0$: $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$ $$\sqrt{D} = 4$$ $$x_1 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ $$x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ Парабола $y = x^2+2x-3$ имеет ветви вверх. Неравенство $x^2+2x-3 \leq 0$ выполняется при $-3 \leq x \leq 1$. **Случай 2:** $2^{x^2+2x-5} \geq 8$ Представим $8$ как степень двойки: $8 = 2^3$. $$2^{x^2+2x-5} \geq 2^3$$ Так как основание степени $2 > 1$, то при сравнении показателей знак неравенства сохраняется: $$x^2+2x-5 \geq 3$$ $$x^2+2x-8 \geq 0$$ Найдем корни квадратного уравнения $x^2+2x-8 = 0$: $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$ $$\sqrt{D} = 6$$ $$x_1 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ $$x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ Парабола $y = x^2+2x-8$ имеет ветви вверх. Неравенство $x^2+2x-8 \geq 0$ выполняется при $x \leq -4$ или $x \geq 2$. Объединяем решения из обоих случаев: $[-3; 1]$ и $(-\infty; -4] \cup [2; +\infty)$ **Ответ:** $(-\infty; -4] \cup [-3; 1] \cup [2; +\infty)$