Решите неравенство $3^{2x+4} - 27 \cdot 3^{x+3} - 3^{x+1} + 27 \le 0$

Чтобы решить неравенство $3^{2x+4} - 27 \cdot 3^{x+3} - 3^{x+1} + 27 \le 0$, сначала преобразуем его: 1. Вынесем степени $3^4$, $3^3$, $3^1$: $$3^{2x} \cdot 3^4 - 27 \cdot 3^x \cdot 3^3 - 3^x \cdot 3^1 + 27 \le 0$$ $$81 \cdot (3^x)^2 - 27 \cdot 27 \cdot 3^x - 3 \cdot 3^x + 27 \le 0$$ $$81 \cdot (3^x)^2 - 729 \cdot 3^x - 3 \cdot 3^x + 27 \le 0$$ 2. Сгруппируем слагаемые с $3^x$: $$81 \cdot (3^x)^2 - (729+3) \cdot 3^x + 27 \le 0$$ $$81 \cdot (3^x)^2 - 732 \cdot 3^x + 27 \le 0$$ 3. Сделаем замену переменной: пусть $t = 3^x$. Так как $3^x$ всегда больше нуля, то $t > 0$. Неравенство примет вид: $$81t^2 - 732t + 27 \le 0$$ 4. Найдем корни квадратного уравнения $81t^2 - 732t + 27 = 0$. Упростим уравнение, разделив все коэффициенты на 3: $$27t^2 - 244t + 9 = 0$$ Найдем дискриминант $D$: $$D = b^2 - 4ac = (-244)^2 - 4 \cdot 27 \cdot 9 = 59536 - 972 = 58564$$ $$ \sqrt{D} = \sqrt{58564} = 242$$ Найдем корни $t_1$ и $t_2$: $$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{244 - 242}{2 \cdot 27} = \frac{2}{54} = \frac{1}{27}$$ $$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{244 + 242}{2 \cdot 27} = \frac{486}{54} = 9$$ 5. Так как $t = 3^x$ и $t_1 = \frac{1}{27}$, $t_2 = 9$, то: $$3^x = \frac{1}{27} \quad \Rightarrow \quad 3^x = 3^{-3} \quad \Rightarrow \quad x = -3$$ $$3^x = 9 \quad \Rightarrow \quad 3^x = 3^2 \quad \Rightarrow \quad x = 2$$ 6. Мы имеем параболу $81t^2 - 732t + 27$, ветви которой направлены вверх. Неравенство $81t^2 - 732t + 27 \le 0$ выполняется, когда $t$ находится между корнями, включая корни: $$\frac{1}{27} \le t \le 9$$ 7. Вернемся к замене $t = 3^x$: $$\frac{1}{27} \le 3^x \le 9$$ $$3^{-3} \le 3^x \le 3^2$$ 8. Так как основание степени $3 > 1$, то функция $y=3^x$ возрастающая, и знак неравенства сохраняется при переходе к показателям: $$-3 \le x \le 2$$ **Ответ:** $x \in [-3; 2]$