РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ГОТОВОМУ ЧЕРТЕЖУ. Рис. 7.17-7.22.

1. **Рис. 7.17.** Найти: $BC, MN$. Треугольники $ABC$ и $NMK$ подобны по двум углам ($∠A = ∠M, ∠C = ∠K$). Коэффициент подобия $k = \frac{AC}{MK} = \frac{4}{15} = 0,266...$, но удобнее использовать пропорцию: $\frac{AB}{MN} = \frac{BC}{NK} = \frac{AC}{MK} \Rightarrow \frac{6}{MN} = \frac{BC}{12} = \frac{4}{15}$ $MN = \frac{6 \cdot 15}{4} = \frac{90}{4} = 22,5$ $BC = \frac{12 \cdot 4}{15} = \frac{48}{15} = 3,2$ Ответ: $BC = 3,2; MN = 22,5$ 2. **Рис. 7.18.** Найти: $AB, BC$. Так как $DE \parallel AC$, треугольники $DBE$ и $ABC$ подобны по двум углам ($∠B$ — общий, $∠BDE = ∠BAC$ как соответственные). $\frac{DE}{AC} = \frac{BD}{BA} = \frac{BE}{BC}$ $\frac{10}{15} = \frac{x+6}{x+6+x} = \frac{8}{BC}$ $\frac{2}{3} = \frac{x+6}{2x+6} \Rightarrow 2(2x+6) = 3(x+6) \Rightarrow 4x + 12 = 3x + 18 \Rightarrow x = 6$ $AB = (x+6) + x = 12 + 6 = 18$ $\frac{2}{3} = \frac{8}{BC} \Rightarrow BC = \frac{3 \cdot 8}{2} = 12$ Ответ: $AB = 18; BC = 12$ 3. **Рис. 7.19.** Найти: $x, y$. По теореме Фалеса или подобию треугольников (вертикальные углы и накрест лежащие при $a \parallel b$): $\frac{y}{y-1} = \frac{5}{4} \Rightarrow 4y = 5(y-1) \Rightarrow 4y = 5y - 5 \Rightarrow y = 5$ $\frac{2x-3}{x} = \frac{5}{4} \Rightarrow 4(2x-3) = 5x \Rightarrow 8x - 12 = 5x \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4$ Ответ: $x = 4; y = 5$ 4. **Рис. 7.20.** Найти: $BD$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($∠B = 90^∘$) высота $BD$, проведенная к гипотенузе, есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу: $BD^2 = AD \cdot DC$ $BD^2 = 4 \cdot 16 = 64$ $BD = \sqrt{64} = 8$ Ответ: $BD = 8$ 5. **Рис. 7.21.** Найти: $CO, BO$. Треугольники $AOC$ и $BOD$ подобны по двум углам (вертикальные $∠AOC = ∠BOD$ и накрест лежащие $∠A = ∠D$ при параллельных прямых, которые здесь подразумеваются по смыслу задачи подобия): $\frac{AC}{BD} = \frac{AO}{DO} = \frac{CO}{BO} \Rightarrow \frac{5}{10} = \frac{6}{8}$ (заметим, что стороны не пропорциональны $\frac{1}{2} \neq \frac{6}{8}$). **Допущение:** Если треугольники подобны по углам при вершинах $A$ и $B$ ($∠A = ∠B$), то: $\frac{CO}{DO} = \frac{AO}{BO} = \frac{AC}{BD} \Rightarrow \frac{CO}{8} = \frac{6}{BO} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ $CO = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ $BO = 6 \cdot 2 = 12$ Ответ: $CO = 4; BO = 12$ 6. **Рис. 7.22.** Найти: $BC$. В прямоугольном треугольнике $BCD$ высота $CE$ делит гипотенузу $BD$. Из треугольника $ABD$: $BD^2 = AB^2 + AD^2$ (если $ABCD$ — прямоугольник, но $AD$ не дано напрямую. По чертежу $AD = AK + KD$). В треугольнике $BCD$: $CE^2 = BE \cdot ED \Rightarrow CE = \sqrt{9 \cdot 1} = 3$. По теореме Пифагора для $\triangle BCE$: $BC = \sqrt{BE^2 + CE^2} = \sqrt{9^2 + 3^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \approx 9,49$ Ответ: $BC = 3\sqrt{10}$