Точка M равноудалена от всех вершин прямоугольного треугольника, катеты которого 6 см и 8 см. Расстояние от точки M до плоскости треугольника равно 12 см. Найдите расстояние от точки M до вершин треугольника.

**Ответ: 24 см** **Решение:** 1. Пусть $ABC$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $C$. Катеты $AC = 6$ см, $BC = 8$ см. 2. Найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ (см). 3. Поскольку точка $M$ равноудалена от всех вершин треугольника, её проекция на плоскость треугольника (точка $O$) является центром описанной окружности. 4. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, значит, радиус $R = AO = BO = CO = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5$ (см). 5. Расстояние от точки $M$ до плоскости — это перпендикуляр $MO = 12$ см. 6. Из прямоугольного треугольника $MOA$ (где $\angle MOA = 90^\circ$) найдем расстояние до вершины $MA$ (наклонную): $MA = \sqrt{MO^2 + AO^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ (см). **Примечание:** В тексте задания 3 не указано, что именно нужно найти в конце, но стандартный вопрос в таких задачах — расстояние до вершин. Если имелось в виду что-то иное, уточни, пожалуйста.