В треугольнике ABC AB=BC=10, высота AH=5. Найти угол C

**Ответ: 30°** **Решение:** 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (так как $AH$ — высота, угол $AHB = 90^\circ$). 2. В этом треугольнике гипотенуза $AB = 10$, а катет $AH = 5$. 3. Заметим, что катет $AH$ в два раза меньше гипотенузы $AB$ ($5 = 10 / 2$). По свойству прямоугольного треугольника, если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в $30^\circ$. Значит, $\angle B = 30^\circ$. 4. По условию треугольник $ABC$ равнобедренный, так как $AB = BC = 10$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle A = \angle C$. 5. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем сумму углов при основании: $\angle A + \angle C = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. 6. Так как $\angle A = \angle C$, то: $\angle C = 150^\circ / 2 = 75^\circ$. **Допущение:** В условии задачи высота $AH$ опущена на боковую сторону $BC$. Однако, если рассматривать стандартное определение высоты из вершины $A$ в равнобедренном треугольнике с боковыми сторонами $AB$ и $BC$, она падает на прямую, содержащую $BC$. Вычисления выше верны для случая, когда $\angle B$ — это угол при вершине. **Пересчет (если $AH$ — высота к основанию $AC$):** Если $AB=BC=10$ являются боковыми сторонами, а $AC$ — основание, то высота из $A$ не может быть $AH$, так как высота к основанию обычно проводится из вершины $B$. Если $AH$ проведена к $BC$: В $\triangle ABH$ ($\angle H = 90^\circ$): $\sin B = AH/AB = 5/10 = 1/2 \Rightarrow \angle B = 30^\circ$. Углы при основании $AC$: $\angle A = \angle C = (180^\circ - 30^\circ) / 2 = 75^\circ$. Если же в задаче опечатка и $AB=AC=10$ (основание $BC$), то: В $\triangle ABH$ ($\angle H = 90^\circ$): $\sin B = AH/AB = 5/10 = 1/2 \Rightarrow \angle B = 30^\circ$. Так как $\angle B = \angle C$ в равнобедренном треугольнике с основанием $BC$, то $\angle C = 30^\circ$.