Из точек A и B, лежащих по одну сторону от прямой, проведены перпендикуляры AC и BD к этой прямой, ∠BAC = 117°. а) Найдите угол ABD. б) Докажите, что прямые AB и CD пересекаются.

**Ответ: а) 63°; б) доказано.** **Решение:** Пусть прямая, о которой говорится в условии, будет $l$. По условию $AC \perp l$ и $BD \perp l$. а) Так как два перпендикуляра к одной и той же прямой параллельны между собой, то $AC \parallel BD$. Прямая $AB$ является секущей для параллельных прямых $AC$ и $BD$. Углы $\angle BAC$ и $\angle ABD$ являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых $AC$, $BD$ и секущей $AB$. По свойству параллельных прямых, сумма внутренних односторонних углов равна $180^{\circ}$: $\angle BAC + \angle ABD = 180^{\circ}$ $117^{\circ} + \angle ABD = 180^{\circ}$ $\angle ABD = 180^{\circ} - 117^{\circ} = 63^{\circ}$. б) Рассмотрим четырехугольник $ACDB$ (или его часть, если рассматривать положение точек). Поскольку $AC \parallel BD$ и отрезки $AC$ и $BD$ лежат по одну сторону от прямой $l$, фигура $ACDB$ является прямоугольной трапецией (если $AC \neq BD$) или прямоугольником (если $AC = BD$). В любом случае, прямые, содержащие боковые стороны или диагонали, не параллельны, если это не прямоугольник. Однако, ключевой момент здесь в том, что точки $A$ и $B$ лежат на разных перпендикулярах. Прямые $AB$ и $CD$ не параллельны, так как $\angle BAC + \angle ACD = 117^{\circ} + 90^{\circ} \neq 180^{\circ}$ (если рассматривать $AC$ как секущую). Следовательно, прямые $AB$ и $CD$ лежат в одной плоскости и не параллельны, значит, они пересекаются.