Решите неравенство (x³ - 5x²) / ((x - 2)(x² + 7x + 30)) ≥ 0

Ответ: $x \in \{0\} \cup (2; 5]$ **Решение:** Дано неравенство: $$\frac{x^3 - 5x^2}{(x - 2)(x^2 + 7x + 30)} \geq 0$$ 1. **Разложим числитель на множители:** $x^3 - 5x^2 = x^2(x - 5)$ 2. **Проанализируем квадратный трехчлен в знаменателе:** $x^2 + 7x + 30$ Найдем дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 49 - 120 = -71$ Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$), выражение $x^2 + 7x + 30$ всегда больше нуля для любого $x$. Оно не влияет на знак неравенства и не может быть равно нулю. 3. **Перепишем неравенство в упрощенном виде:** $$\frac{x^2(x - 5)}{x - 2} \geq 0$$ При условии, что $x - 2 \neq 0$ (т.е. $x \neq 2$). 4. **Метод интервалов:** Отметим на числовой прямой корни числителя и знаменателя: - $x = 0$ (кратность 2, знак при переходе не меняется) - $x = 5$ (закрашенная точка, так как неравенство нестрогое) - $x = 2$ (выколотая точка, так как находится в знаменателе) Определим знаки на интервалах: - $(5; +\infty)$: берем $x=6$, $\frac{6^2(6-5)}{6-2} > 0$ — знак «$+$» - $(2; 5]$: берем $x=3$, $\frac{3^2(3-5)}{3-2} < 0$ — знак «$-$» (ошибка в рассуждении, проверим еще раз: $\frac{+ \cdot (-)}{+} = -$) Стоп, определим знаки точнее: - При $x > 5$: выражение $> 0$ - При $2 < x \leq 5$: выражение $\leq 0$ (так как $x-5 \leq 0$, а $x-2 > 0$) - При $0 < x < 2$: выражение $> 0$ (так как $x-5 < 0$ и $x-2 < 0$) - При $x < 0$: выражение $> 0$ (так как $x^2 > 0$, $x-5 < 0$ и $x-2 < 0$) - При $x = 0$: выражение равно $0$ (подходит) Выбираем интервалы, где выражение $\geq 0$: $x \in (-\infty; 2) \cup [5; +\infty)$ Также не забываем про точку $x=0$, которая уже входит в интервал $(-\infty; 2)$. **Поправка:** Разберем знаки по множителям для $\frac{x^2(x-5)}{x-2} \geq 0$: Критические точки: $0; 2; 5$. 1. $x > 5$: $\frac{+ \cdot +}{+} \rightarrow (+)$ 2. $2 < x < 5$: $\frac{+ \cdot -}{+} \rightarrow (-)$ 3. $0 < x < 2$: $\frac{+ \cdot -}{-} \rightarrow (+)$ 4. $x < 0$: $\frac{+ \cdot -}{-} \rightarrow (+)$ 5. $x = 0$: $0 \geq 0$ (верно) 6. $x = 5$: $0 \geq 0$ (верно) 7. $x = 2$: не определено. Таким образом, решением являются интервалы, где стоит знак (+), и точки, где выражение равно 0. Это промежутки $(-\infty; 2)$ и $[5; +\infty)$.