Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между плоскостями $DA_1B_1C$ и $DD_1C_1C$.

Ответ: б) $45^{\circ}$ Решение: 1. Плоскость $DD_1C_1C$ — это задняя грань куба. 2. Плоскость $DA_1B_1C$ проходит через диагонали противоположных граней $A_1D$ и $B_1C$. 3. Заметим, что обе плоскости пересекаются по прямой $DC$. Проведём в плоскостях перпендикуляры к этой линии пересечения: - В плоскости $DD_1C_1C$ прямая $D_1D$ перпендикулярна $DC$ (так как это ребро грани квадрата). - В плоскости $DA_1B_1C$ прямая $A_1D$ перпендикулярна $DC$ (так как $DC$ перпендикулярна всей боковой грани $AA_1D_1D$, а значит, и любой прямой в ней). 4. Угол между плоскостями равен углу между этими перпендикулярами, то есть $\angle A_1DD_1$. 5. Так как $AA_1D_1D$ — квадрат, его диагональ $A_1D$ делит прямой угол пополам. Следовательно, $\angle A_1DD_1 = 45^{\circ}$.