1. Рис. 7.17. Найти: BC, MN. 2. Дано: DE||AC (рис. 7.18). Найти: AB, BC. 3. Дано: a||b (рис. 7.19). Найти: x, y. 4. Рис. 7.20. Найти: BD. 5. Рис. 7.21. Найти: CO, BO. 6. Рис. 7.22. Найти: BC.

1. **Рис. 7.17. Найти: BC, MN.** Треугольники $ABC$ и $MNK$ подобны по двум углам (отмечены одинаковыми дугами). Коэффициент подобия: $k = \frac{MK}{AC} = \frac{15}{5} = 3$. $BC = \frac{NK}{k} = \frac{12}{3} = 4$. $MN = AB \cdot k = 6 \cdot 3 = 18$. Ответ: $BC = 4$, $MN = 18$. 2. **Рис. 7.18. Дано: DE || AC. Найти: AB, BC.** Треугольники $DBE$ и $ABC$ подобны по двум углам (общий угол $B$ и соответственные углы при параллельных прямых). $k = \frac{AC}{DE} = \frac{15}{10} = 1,5$. $AB = k \cdot BD = 1,5 \cdot (x + 6)$. Из подобия: $\frac{AB}{BD} = \frac{AC}{DE} \Rightarrow \frac{x + 6 + x}{x + 6} = \frac{15}{10} \Rightarrow \frac{2x + 6}{x + 6} = 1,5$. $2x + 6 = 1,5x + 9 \Rightarrow 0,5x = 3 \Rightarrow x = 6$. $AB = (x+6) + x = 12 + 6 = 18$. $BC = BE \cdot k = 8 \cdot 1,5 = 12$. Ответ: $AB = 18$, $BC = 12$. 3. **Рис. 7.19. Дано: a || b. Найти: x, y.** По теореме Фалеса (или подобию треугольников, образованных секущими): $\frac{x}{4} = \frac{5}{2x - 3} \Rightarrow x(2x - 3) = 20 \Rightarrow 2x^2 - 3x - 20 = 0$. $D = 9 + 160 = 169 = 13^2$. $x = \frac{3 + 13}{4} = 4$ (корень $x = -2,5$ не подходит по смыслу задачи). $\frac{y}{y - 1} = \frac{5}{4} \Rightarrow 4y = 5y - 5 \Rightarrow y = 5$. Ответ: $x = 4$, $y = 5$. 4. **Рис. 7.20. Найти: BD.** В прямоугольном треугольнике $ABC$ высота $BD$ проведена из прямого угла к гипотенузе. $BD^2 = AD \cdot DC = 4 \cdot 16 = 64$. $BD = \sqrt{64} = 8$. Ответ: $BD = 8$. 5. **Рис. 7.21. Найти: CO, BO.** Треугольники $AOC$ и $BOD$ подобны по двум углам (вертикальные углы при $O$ и накрест лежащие, так как углы $A$ и $D$ отмечены как равные). $k = \frac{OD}{OA} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$. $CO = \frac{BD}{k} = \frac{10}{4/3} = 10 \cdot \frac{3}{4} = 7,5$. $BO = AC \cdot k = 5 \cdot \frac{4}{3} = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$. Ответ: $CO = 7,5$, $BO = 6\frac{2}{3}$. 6. **Рис. 7.22. Найти: BC.** В треугольнике $ABC$ отрезок $BK$ — высота, $BD$ — медиана? Судя по чертежу и стандартным задачам, $BK$ — высота в прямоугольном треугольнике $ABD$ или части составной фигуры. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCD$. Высота $CE$ проведена к гипотенузе $BD$. $CD^2 = DE \cdot BD = 9 \cdot (1 + 9) = 90 \Rightarrow CD = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$. Если $ABCD$ — прямоугольник, то $BC = AD$. В треугольнике $ABD$: $BK = 6$, $AK = x$. **Допущение:** На чертеже $ABCD$ — трапеция или прямоугольник. Если $BK = 6$ и $DE = 9$, $BE = 1$, то $BD = 10$. В $\triangle BCD$ (угол $C=90^{\circ}$), по свойству высоты: $CE^2 = BE \cdot ED = 1 \cdot 9 = 9 \Rightarrow CE = 3$. $BC = \sqrt{BE^2 + CE^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$. Ответ: $BC = \sqrt{10}$.