В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребро AD равно 1 см, а каждое из рёбер AB и AA1 равно 2 см. Найдите угол между плоскостями AB1D и CB1D.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{9}\right)$ Решение: Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0, 0, 0)$. Пусть ребро $AB$ лежит на оси $Ox$, $AD$ — на оси $Oy$, а $AA_1$ — на оси $Oz$. Тогда координаты вершин: $A(0, 0, 0)$, $B(2, 0, 0)$, $D(0, 1, 0)$, $A_1(0, 0, 2)$, $B_1(2, 0, 2)$, $C(2, 1, 0)$, $D_1(0, 1, 2)$. 1. Найдем уравнение плоскости $AB_1D$. Она проходит через точки $A(0,0,0)$, $B_1(2,0,2)$, $D(0,1,0)$. Уравнение плоскости, проходящей через начало координат: $ax + by + cz = 0$. Подставим координаты точек: Для $D(0, 1, 0): b = 0$. Для $B_1(2, 0, 2): 2a + 2c = 0 \Rightarrow a = -c$. Пусть $c = 1$, тогда $a = -1, b = 0$. Уравнение: $-x + z = 0$ или $x - z = 0$. Вектор нормали $\vec{n_1} = (1, 0, -1)$. 2. Найдем уравнение плоскости $CB_1D$. Она проходит через $C(2,1,0)$, $B_1(2,0,2)$, $D(0,1,0)$. Уравнение $ax + by + cz + d = 0$. Для $D(0,1,0): b + d = 0 \Rightarrow b = -d$. Для $C(2,1,0): 2a + b + d = 0 \Rightarrow 2a + 0 = 0 \Rightarrow a = 0$. Для $B_1(2,0,2): 2a + 2c + d = 0 \Rightarrow 0 + 2c + d = 0 \Rightarrow 2c = -d \Rightarrow c = -\frac{1}{2}d$. Пусть $d = -2$, тогда $b = 2, a = 0, c = 1$. Уравнение: $2y + z - 2 = 0$. Вектор нормали $\vec{n_2} = (0, 2, 1)$. 3. Угол $\alpha$ между плоскостями равен углу между их нормалями: $\cos\alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|1 \cdot 0 + 0 \cdot 2 + (-1) \cdot 1|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} \cdot \sqrt{0^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$ **Допущение:** В расчетах выше найдена косинус угла между нормалями. Перепроверим векторы для $CB_1D$. $\\vec{DC} = (2, 0, 0)$, $\vec{DB_1} = (2, -1, 2)$. Нормаль $\vec{n_2} = \vec{DC} \times \vec{DB_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}(0) - \vec{j}(4) + \vec{k}(-2) = (0, -4, -2)$. Нормаль $\vec{n_1}$ для $AB_1D$ через $\vec{AD}(0,1,0)$ и $\vec{AB_1}(2,0,2)$: $\vec{n_1} = \vec{AD} \times \vec{AB_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}(2) - \vec{j}(0) + \vec{k}(-2) = (2, 0, -2)$. $\cos\alpha = \frac{|(2)(0) + (0)(-4) + (-2)(-2)|}{\sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2} \cdot \sqrt{0^2 + (-4)^2 + (-2)^2}} = \frac{4}{\sqrt{8} \cdot \sqrt{20}} = \frac{4}{\sqrt{160}} = \frac{4}{4\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$. Угол $\alpha = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$.