Найдите наибольшее значение функции y = (27 - x) * sqrt(x) на отрезке [1;16]

Ответ: 54 Чтобы найти наибольшее значение функции $y = (27 - x) \cdot \sqrt{x}$ на отрезке $[1; 16]$, воспользуемся алгоритмом поиска экстремумов с помощью производной. 1. Найдем производную функции. Удобнее сначала раскрыть скобки: $y = 27\sqrt{x} - x\sqrt{x} = 27x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}}$ $y' = 27 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{27}{2\sqrt{x}} - \frac{3\sqrt{x}}{2}$ 2. Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $\frac{27}{2\sqrt{x}} - \frac{3\sqrt{x}}{2} = 0$ $\frac{27 - 3x}{2\sqrt{x}} = 0$ $27 - 3x = 0$ $3x = 27$ $x = 9$ Точка $x = 9$ принадлежит заданному отрезку $[1; 16]$. 3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка: - В точке $x = 9$: $y(9) = (27 - 9) \cdot \sqrt{9} = 18 \cdot 3 = 54$ - В точке $x = 1$: $y(1) = (27 - 1) \cdot \sqrt{1} = 26 \cdot 1 = 26$ - В точке $x = 16$: $y(16) = (27 - 16) \cdot \sqrt{16} = 11 \cdot 4 = 44$ 4. Сравним полученные значения: $26 < 44 < 54$. Наибольшее значение равно 54.