Диагонали ромба равны 8 см и 6 см. Найдите синус, косинус и тангенс острого угла ромба.

**Ответ:** $\sin \alpha = 0,96$; $\cos \alpha = 0,28$; $\text{tg } \alpha = \frac{24}{7}$. **Решение:** 1. Пусть $d_1 = 8$ см и $d_2 = 6$ см — диагонали ромба. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Они делят ромб на 4 равных прямоугольных треугольника. 2. Рассмотрим один такой треугольник. Его катеты равны половинам диагоналей: $a = \frac{d_1}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см $b = \frac{d_2}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см 3. Найдем гипотенузу (сторону ромба $c$) по теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см. 4. Пусть $\alpha$ — острый угол ромба. Диагональ является биссектрисой угла ромба, поэтому в нашем треугольнике угол равен $\frac{\alpha}{2}$. $\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{b}{c} = \frac{3}{5} = 0,6$ $\cos \frac{\alpha}{2} = \frac{a}{c} = \frac{4}{5} = 0,8$ 5. Используем формулы двойного угла для нахождения синуса и косинуса угла $\alpha$: $\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} = 2 \cdot 0,6 \cdot 0,8 = 0,96$ $\cos \alpha = \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} = 0,8^2 - 0,6^2 = 0,64 - 0,36 = 0,28$ $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0,96}{0,28} = \frac{96}{28} = \frac{24}{7}$