Из точек A и B, лежащих по одну сторону от прямой, проведены перпендикуляры AC и BD к этой прямой, ∠BAC = 117°. а) Найдите угол ABD. б) Докажите, что прямые AB и CD пересекаются.

**Ответ: а) $63^{\circ}$** **Решение:** 1. Рассмотрим прямые $AC$ и $BD$. По условию, они оба перпендикулярны одной и той же прямой (пусть это будет прямая $a$). По свойству параллельных прямых: если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой. Значит, $AC \parallel BD$. 2. Рассмотрим прямые $AC$ и $BD$ и секущую $AB$. Углы $\angle BAC$ и $\angle ABD$ являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых $AC$ и $BD$ и секущей $AB$. 3. По свойству параллельных прямых, сумма внутренних односторонних углов равна $180^{\circ}$: $\angle BAC + \angle ABD = 180^{\circ}$ $117^{\circ} + \angle ABD = 180^{\circ}$ $\angle ABD = 180^{\circ} - 117^{\circ} = 63^{\circ}$ **б) Доказательство:** 1. Предположим, что прямые $AB$ и $CD$ не пересекаются. Это означало бы, что $AB \parallel CD$. 2. Если $AB \parallel CD$, то фигура $ACDB$ была бы параллелограммом (так как $AC \parallel BD$ и $AB \parallel CD$). 3. В параллелограмме сумма соседних углов равна $180^{\circ}$. Однако в четырехугольнике $ACDB$ углы при основании $C$ и $D$ прямые (по $90^{\circ}$), так как $AC$ и $BD$ — перпендикуляры. 4. Если бы $AB$ была параллельна $CD$, то углы $\angle BAC$ и $\angle ACD$ должны были бы в сумме давать $180^{\circ}$. Но $\angle BAC = 117^{\circ}$, а $\angle ACD = 90^{\circ}$. $117^{\circ} + 90^{\circ} = 207^{\circ} \neq 180^{\circ}$. 5. Следовательно, наше предположение неверно, и прямые $AB$ и $CD$ пересекаются.