Найдите наибольшее значение функции y = -4/3 x√x + 6x + 13 на отрезке [4; 16].

**Ответ: 21** **Решение:** 1. Найдём производную функции $y = -\frac{4}{3}x\sqrt{x} + 6x + 13$. Представим $x\sqrt{x}$ как $x^{1,5}$: $y' = -\frac{4}{3} \cdot 1,5 \cdot x^{0,5} + 6 = -\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \sqrt{x} + 6 = -2\sqrt{x} + 6$ 2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $-2\sqrt{x} + 6 = 0$ $2\sqrt{x} = 6$ $\sqrt{x} = 3$ $x = 9$ Число $9$ принадлежит отрезку $[4; 16]$. 3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка: - $y(9) = -\frac{4}{3} \cdot 9 \cdot \sqrt{9} + 6 \cdot 9 + 13 = -\frac{4}{3} \cdot 9 \cdot 3 + 54 + 13 = -36 + 54 + 13 = 31$ - $y(4) = -\frac{4}{3} \cdot 4 \cdot \sqrt{4} + 6 \cdot 4 + 13 = -\frac{4}{3} \cdot 8 + 24 + 13 = -\frac{32}{3} + 37 = -10\frac{2}{3} + 37 = 26\frac{1}{3}$ - $y(16) = -\frac{4}{3} \cdot 16 \cdot \sqrt{16} + 6 \cdot 16 + 13 = -\frac{4}{3} \cdot 64 + 96 + 13 = -\frac{256}{3} + 109 = -85\frac{1}{3} + 109 = 23\frac{2}{3}$ 4. Сравнивая полученные значения, видим, что наибольшее значение равно $31$.