Вариант 2. 1. Диагонали ромба равны 14 см и 48 см. Найдите сторону ромба.

**1. Ответ: 25 см.** Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам и перпендикулярны. Половины диагоналей: $14 / 2 = 7$ см и $48 / 2 = 24$ см. По теореме Пифагора сторона ромба $a$ равна: $a = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ (см). **2. Ответ: 96 см².** Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Второй угол равен $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. Площадь параллелограмма: $S = a \cdot b \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot 16 \cdot 0,5 = 96$ (см²). **3. Ответ: $18(\sqrt{3} + 1)$ см² $\approx 49,2$ см².** В треугольнике $ABD$ ($BD$ — высота, $\angle D = 90^\circ$): так как $\angle A = 30^\circ$, то $AD = BD \cdot \text{ctg}(30^\circ) = 6\sqrt{3}$. В треугольнике $BCD$ ($BD$ — высота, $\angle D = 90^\circ$): $\angle BCD = 180^\circ - (30^\circ + 75^\circ) = 75^\circ$. Тогда $\angle CBD = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ$ (или $\angle CBD = \angle B_{общий} - \angle ABD = 75^\circ - 60^\circ = 15^\circ$). $CD = BD \cdot \text{tg}(15^\circ) = 6 \cdot (2 - \sqrt{3}) = 12 - 6\sqrt{3}$. Сторона $AC = AD + CD = 6\sqrt{3} + 12 - 6\sqrt{3} = 12$ см. — **Допущение:** высота $BD$ падает на сторону $AC$. Проверим: $\angle C = 180-30-75 = 75^\circ$. Значит треугольник равнобедренный ($AB=AC$). $AB = BD / \sin(30^\circ) = 6 / 0,5 = 12$ см. Тогда $AC = 12$ см. $S = 0,5 \cdot AC \cdot BD = 0,5 \cdot 12 \cdot 6 = 36$ (см²). **4. Ответ: S = 60 см², P = 34 см.** Пусть диагональ $d = 13$, сторона $a = 5$. Вторая сторона $b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ (см). $S = a \cdot b = 5 \cdot 12 = 60$ (см²). $P = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (5 + 12) = 34$ (см). **5. Ответ: 180 см².** Проведем высоты из верхних углов. Отрезок на нижнем основании равен $(20 - 10) / 2 = 5$ см. Высота $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$ см. $S = \frac{10 + 20}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180$ (см²).