Билет №4. 1. Ромб. Свойства ромба. Доказать, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

### Билет №4 **1. Ромб:** Это параллелограмм, у которого все стороны равны. Свойства: стороны равны, противоположные углы равны, диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов. *Доказательство:* В ромбе $ABCD$ стороны $AB=AD$. Диагональ $AC$ является осью симметрии, значит, $\triangle ABC = \triangle ADC$. В равнобедренном треугольнике $ABD$ ($AB=AD$) медиана $AO$ (точка $O$ — пересечение диагоналей) является и высотой. Значит, $AC \perp BD$. **2. Подобие треугольников:** Два треугольника подобны, если их углы равны, а стороны пропорциональны. Признаки: по двум углам (1-й), по двум сторонам и углу между ними (2-й), по трем сторонам (3-й). **3. Задача:** Так как $AM$ — биссектриса, $\angle BAM = \angle MAC$. В ромбе $AB \parallel CD$, $\angle BAM = \angle KMC$ (накрест лежащие). Из свойств ромба и углов треугольника через $120^\circ$ вычисляется искомый угол. $\angle AKB = 60^\circ$. **4. Верные утверждения:** 3, 4, 5. ### Билет №5 **1. Квадрат:** Прямоугольник, у которого все стороны равны. Если в ромбе диагонали равны, он становится прямоугольником, а значит, и квадратом. **2. Центральный угол:** Угол с вершиной в центре окружности. Равен градусной мере дуги, на которую опирается. **3. Задача:** Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$. $AC = 7 + 4 = 11$ см. $55 = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot BD \implies 110 = 11 \cdot BD \implies BD = 10$ см. **4. Верные утверждения:** 1, 2, 3, 4, 5. ### Билет №6 **1. Площадь параллелограмма:** $S = a \cdot h_a$. Доказывается через проведение высот и равенство прямоугольных треугольников при переносе части фигуры. **2. Вписанная окружность:** Центр — точка пересечения биссектрис. Для описанного четырехугольника: суммы противоположных сторон равны ($a+c = b+d$). **3. Задача:** $\angle C = 180^\circ - 75^\circ - 30^\circ = 75^\circ$. Треугольник равнобедренный, $AB=BC=10$ см. Высота $h = 10 \cdot \sin(75^\circ)$. Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h$. **4. Верные утверждения:** 2, 3, 5. ### Билет №7 **1. Площадь треугольника:** $S = \frac{1}{2} a h$. Прямоугольный треугольник: $S = \frac{1}{2} a b$ (где $a, b$ — катеты). **2. Описанная окружность:** Центр — точка пересечения серединных перпендикуляров. **3. Задача:** Трапеция с основаниями $10$ и $22$ см, высота $15$ см. $S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{10+22}{2} \cdot 15 = 16 \cdot 15 = 240$ см$^2$. **4. Верные утверждения:** 1, 2, 3, 4, 5.