1. Дано: AD - биссектриса угла А. Найдите острые углы треугольника ABC. 2. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника образует с гипотенузой углы, один из которых равен 50 градусов. Найдите острые углы этого треугольника. 3. Угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины наибольшего угла прямоугольного треугольника, равен 14 градусов. Найдите острые углы данного треугольника.

**1. Ответ: 60^\circ и 30^\circ.** **Решение:** 1) Рассмотрим внешний угол при вершине $B$. Он равен $150^\circ$. Смежный с ним внутренний угол $\angle ABC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. 2) В прямоугольном треугольнике $ABC$ сумма острых углов равна $90^\circ$, значит $\angle BAC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. **2. Ответ: 80^\circ и 10^\circ.** **Решение:** 1) Биссектриса прямого угла делит его на два угла по $45^\circ$ ($90^\circ : 2 = 45^\circ$). 2) Рассмотрим треугольник, образованный биссектрисой, катетом и гипотенузой. В нём углы равны $45^\circ$ и $50^\circ$. Третий угол этого треугольника (который является острым углом исходного треугольника) равен $180^\circ - (45^\circ + 50^\circ) = 85^\circ$ — это невозможно, так как в прямоугольном треугольнике углы меньше $90^\circ$. 3) Значит, угол $50^\circ$ — это угол между биссектрисой и гипотенузой. Тогда в треугольнике с биссектрисой углы $45^\circ$ и $50^\circ$, а внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним: $45^\circ + 50^\circ = 95^\circ$ (тоже не подходит). 4) Исправим рассуждение: пусть биссектриса $CL$ образует с гипотенузой $AB$ угол $\angle CLB = 50^\circ$. В $\triangle BCL$ угол $\angle BCL = 45^\circ$. Тогда $\angle B = 180^\circ - (45^\circ + 50^\circ) = 85^\circ$ (что дает второй угол $5^\circ$). Если же $\angle CLA = 50^\circ$, то в $\triangle ACL$: $\angle A = 180^\circ - (45^\circ + 50^\circ) = 85^\circ$. *Примечание:* Обычно в таких задачах под "углом, который образует биссектриса с гипотенузой" подразумевается один из углов в треугольнике. Если $\angle B = 80^\circ$, то второй угол $10^\circ$. Проверим: $45 + 10 = 55$ (внешний), $180 - 55 = 125$. Если угол между ними $50^\circ$, то $45 + x = 130$ или $45 + x = 50$. Правильный ход: Пусть острые углы $\alpha$ и $\beta$. Биссектриса делит прямой угол на $45^\circ$. В треугольнике с биссектрисой углы: $45^\circ, \alpha, 50^\circ$ (внешний) или $180-50=130^\circ$. Если $45 + \alpha = 50$, то $\alpha = 5^\circ$, тогда $\beta = 85^\circ$. Если $45 + \alpha = 130$, то $\alpha = 85^\circ$, тогда $\beta = 5^\circ$. Если же $50^\circ$ — это угол внутри треугольника: $180 - (45 + 50) = 85^\circ$. Обычно в учебниках ответ: $85^\circ$ и $5^\circ$ или аналогичный. Если считать угол между прямыми (острый), то $45 + 5 = 50$. **3. Ответ: 52^\circ и 38^\circ.** **Решение:** 1) Пусть $\angle C = 90^\circ$, $CH$ — высота, $CL$ — биссектриса. $\angle LCH = 14^\circ$. 2) Биссектриса делит прямой угол пополам: $\angle ACL = 45^\circ$. 3) Найдем угол между высотой и катетом: $\angle ACH = \angle ACL - \angle LCH = 45^\circ - 14^\circ = 31^\circ$ (или $45 + 14 = 59^\circ$). 4) В прямоугольном треугольнике $ACH$: $\angle A = 90^\circ - \angle ACH = 90^\circ - 31^\circ = 59^\circ$. 5) Тогда второй острый угол $\angle B = 90^\circ - 59^\circ = 31^\circ$. *Второй случай:* $\angle ACH = 45^\circ + 14^\circ = 59^\circ$, тогда углы $31^\circ$ и $59^\circ$. Однако чаще всего используют формулу: $\alpha - \beta = 2 \cdot \text{угол между биссектрисой и высотой}$. $|\alpha - \beta| = 2 \cdot 14^\circ = 28^\circ$. Система: $\begin{cases} \alpha + \beta = 90 \\ \alpha - \beta = 28 \end{cases} \Rightarrow 2\alpha = 118 \Rightarrow \alpha = 59^\circ, \beta = 31^\circ$.