**Часть 2.**
**20. Решите неравенство $\frac{-31}{(x+2)^2 - 3} \geq 0$.**
**Ответ: $x \in (-\sqrt{3}-2; \sqrt{3}-2)$**
**Решение:**
1. Числитель дроби равен $-31$, это число отрицательное.
2. Чтобы вся дробь была больше или равна нулю, знаменатель должен быть строго меньше нуля (на ноль делить нельзя):
$(x+2)^2 - 3 < 0$
3. Разложим по формуле разности квадратов: $(x+2 - \sqrt{3})(x+2 + \sqrt{3}) < 0$.
4. Корни выражения: $x_1 = \sqrt{3}-2$ и $x_2 = -\sqrt{3}-2$.
5. Методом интервалов определяем, что выражение меньше нуля между корнями.
**21. Свежие фрукты содержат 83% воды, а высушенные — 24%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 68 кг высушенных фруктов?**
**Ответ: 304 кг**
**Решение:**
1. Найдем массу сухого вещества в высушенных фруктах: в 100% - 24% (вода) = 76% сухого вещества. Масса: $68 \cdot 0,76 = 51,68$ кг.
2. В свежих фруктах сухого вещества 100% - 83% = 17%.
3. Так как масса сухого вещества не меняется, найдем массу свежих фруктов: $51,68 / 0,17 = 304$ кг.
**22. Постройте график функции $y = x^2 - |6x+7|$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.**
**Ответ: $m = -12,25$ и $m = 1,1875$** (или $m = -49/4$ и $m = 19/16$)
**Решение:**
1. Раскроем модуль:
- Если $x \geq -7/6$, то $y = x^2 - 6x - 7$. Вершина в точке $x = 3, y = -16$.
- Если $x < -7/6$, то $y = x^2 + 6x + 7$. Вершина в точке $x = -3, y = -2$.
2. Прямая $y=m$ имеет 3 точки пересечения, когда она проходит через «излом» функции при $x = -7/6$ ($y = 19/16$) или через вершину одной из парабол (в данном случае вершина левой параболы выше правой, поэтому подходит $y = -49/4$).
:::div .chart-container @chart-1:::
**23. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB=3, AC=15.**
**Ответ: 14,4**
**Решение:**
1. Пусть $R$ — радиус, $O$ — центр на $AC$. $OC = OB = R$. $OA = 15 - R$.
2. Т.к. $AB$ касается окружности, $OB \perp AB$. В $\triangle OBA$ по Пифагору: $AB^2 + OB^2 = OA^2$.
3. $3^2 + R^2 = (15 - R)^2 \Rightarrow 9 + R^2 = 225 - 30R + R^2$.
4. $30R = 216 \Rightarrow R = 7,2$. Диаметр $D = 2R = 14,4$.
**24. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.**
**Доказательство:**
Если из двух точек $B$ и $C$, лежащих по одну сторону от прямой $AD$, отрезок $AD$ виден под равными углами (что не совсем наш случай) или, наоборот, если углы, опирающиеся на одну сторону, равны, то точки $A, B, C, D$ лежат на одной окружности. Так как $\angle ABD = \angle ACD$, то точки $A, B, C, D$ принадлежат одной окружности (опираются на дугу $AD$). Тогда $\angle DAC$ и $\angle DBC$ равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $DC$.
**25. Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC=36, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 91° и 149°.**
**Ответ: 72**
**Решение:**
1. Если точка $M$ равноудалена от $A, B, C, D$, то она является центром описанной окружности, а $AD$ — её диаметр (так как $M$ середина $AD$).
2. Треугольники $AMB, BMC, CMD$ — равнобедренные ($MA=MB=MC=MD=R$).
3. Пусть $\angle BAM = \alpha$, $\angle CDM = \delta$. Тогда $\angle ABM = \alpha$, $\angle DCM = \delta$.
4. В $\triangle BMC$ углы при основании $BC$ равны. $\angle MBC = \angle MCB = \beta$.
5. Условие: $\alpha + \beta = 91$ и $\delta + \beta = 149$. Вписанный четырёхугольник: $\alpha + (180-\delta)$... Проще: $\angle A + \angle D = 180 - \angle BMC$. В данной конфигурации $AD$ — диаметр, треугольник $BMC$ равносторонним быть не обязан, но сумма углов $\alpha + \beta + \beta + \delta = 91 + 149 = 240$. С учетом суммы углов трапеции/четырехугольника и свойств радиусов, находим, что $\angle BMC = 60^{\circ}$, значит $\triangle BMC$ равносторонний. $R = BC = 36$. $AD = 2R = 72$.
