Докажите, что расстояния от точки K до всех прямых, содержащих стороны ромба, равны; Найдите это расстояние, если OK = 4,5 дм, AC = 6 дм, BD = 8 дм.

**Ответ: а) Доказано; б) 5,1 дм.** **Решение:** а) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $ABCD$. Прямая $OK$ перпендикулярна плоскости ромба ($OK \perp (ABC)$). Проведём перпендикуляры из точки $O$ к сторонам ромба. В ромбе точка пересечения диагоналей равноудалена от всех его сторон (высоты, опущенные из центра на стороны, равны), то есть $OH_1 = OH_2 = OH_3 = OH_4 = r$, где $r$ — радиус вписанной окружности. По теореме о трёх перпендикулярах, наклонные $KH_1, KH_2, KH_3, KH_4$ также будут перпендикулярны сторонам ромба. Длина каждой такой наклонной (расстояние от точки $K$ до прямых) вычисляется по теореме Пифагора: $KH = \sqrt{OK^2 + r^2}$. Так как $OK$ и $r$ одинаковы для всех сторон, то и расстояния от точки $K$ до сторон ромба равны. б) Дано: $OK = 4,5$ дм, $AC = 6$ дм, $BD = 8$ дм. 1. Найдём сторону ромба $AB$ по теореме Пифагора из треугольника $AOB$ (где $AO = 3, BO = 4$): $AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ дм. 2. Найдём высоту ромба (или радиус $r$). Площадь ромба $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ дм$^2$. Также $S = AB \cdot h$, откуда $h = \frac{24}{5} = 4,8$ дм. Радиус вписанной окружности $r = \frac{h}{2} = \frac{4,8}{2} = 2,4$ дм. 3. Найдём искомое расстояние $KH$: $KH = \sqrt{OK^2 + r^2} = \sqrt{4,5^2 + 2,4^2} = \sqrt{20,25 + 5,76} = \sqrt{26,01} = 5,1$ дм.