В трапеции ABCD через точку O пересечения диагоналей проведён отрезок MN параллельно основаниям AD и BC. Докажи, что отрезок в точке O делится пополам (напиши выражения отрезков MO и ON через основания AD = x и BC = y). Определи длину отрезка MN, если AD = 9 см и BC = 6 см.

**Ответ: 1. $MO = ON = \frac{x \cdot y}{x + y}$; 2. $MN = \frac{36}{5}$ см.** **Решение:** 1. Рассмотрим трапецию $ABCD$, где $AD = x$, $BC = y$. Отрезок $MN$ проходит через точку $O$ (пересечение диагоналей) параллельно основаниям. Из подобия треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle MON$ (так как $MO \parallel BC$), а также из подобия треугольников, образованных диагоналями, выводится классическая формула для длины такого отрезка: $$MO = \frac{AD \cdot BC}{AD + BC} = \frac{x \cdot y}{x + y}$$ Так как точка $O$ делит отрезок $MN$ пополам, то: $$MO = ON = \frac{x \cdot y}{x + y}$$ 2. Найдём длину всего отрезка $MN$: $$MN = MO + ON = 2 \cdot \frac{x \cdot y}{x + y} = \frac{2xy}{x + y}$$ Подставим значения $AD = 9$ см и $BC = 6$ см: $$MN = \frac{2 \cdot 9 \cdot 6}{9 + 6} = \frac{108}{15}$$ Сократим дробь на 3: $$MN = \frac{36}{5} \text{ см}$$