В трапеции ABCD через точку O пересечения диагоналей проведён отрезок MN параллельно основаниям AD и BC. Докажи, что отрезок в точке O делится пополам. Определи длину отрезка MN, если AD = 11 см и BC = 3 см.

**Ответ: 1. $MO = ON = \frac{x \cdot y}{x + y}$; 2. $MN = \frac{33}{7}$ см** **Решение:** 1. Пусть $AD = x$ и $BC = y$. Рассмотрим подобные треугольники. - $\triangle BOC \sim \triangle DOA$ по двум углам (углы при вершине $O$ вертикальные, накрест лежащие углы при параллельных прямых равны). Коэффициент подобия $k = \frac{BC}{AD} = \frac{y}{x}$. Из этого следует, что $\frac{BO}{OD} = \frac{CO}{OA} = \frac{y}{x}$. - Рассмотрим $\triangle ABC$. В нём отрезок $MO \parallel BC$. Значит, $\triangle AMO \sim \triangle ABC$. Тогда $\frac{MO}{BC} = \frac{AO}{AC} = \frac{AO}{AO + OC}$. Подставим отношение $OC = AO \cdot \frac{y}{x}$: $$\frac{MO}{y} = \frac{AO}{AO + AO \cdot \frac{y}{x}} = \frac{1}{1 + \frac{y}{x}} = \frac{x}{x + y}$$ Отсюда **$MO = \frac{xy}{x + y}$**. - Аналогично из $\triangle BDC$, где $ON \parallel BC$, получаем $\triangle DON \sim \triangle DBC$. Тогда $\frac{ON}{BC} = \frac{DO}{DB} = \frac{DO}{DO + OB}$. Подставим $OB = DO \cdot \frac{y}{x}$: $$\frac{ON}{y} = \frac{DO}{DO + DO \cdot \frac{y}{x}} = \frac{1}{1 + \frac{y}{x}} = \frac{x}{x + y}$$ Отсюда **$ON = \frac{xy}{x + y}$**. Значит, $MO = ON$. 2. Отрезок $MN = MO + ON = 2 \cdot \frac{xy}{x + y} = \frac{2xy}{x + y}$. Подставим значения $x = 11$ и $y = 3$: $$MN = \frac{2 \cdot 11 \cdot 3}{11 + 3} = \frac{66}{14}$$ Сократим дробь на $2$: $$MN = \frac{33}{7}$$