160 Прямая a проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна к нему. Докажите, что: а) каждая точка прямой а равноудалена от точек А и В; б) каждая точка, равноудалённая от точек А и В, лежит на прямой а.

**Ответ:** Прямая $a$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. **Доказательство:** Пусть $M$ — середина отрезка $AB$ ($AM = MB$), и $a \perp AB$ в точке $M$. а) Докажем, что любая точка $P \in a$ равноудалена от $A$ и $B$: 1. Если точка $P$ совпадает с $M$, то $AM = MB$ по условию. 2. Если $P$ не совпадает с $M$, рассмотрим треугольники $\triangle AMP$ и $\triangle BMP$: - $AM = MB$ (так как $M$ — середина); - $\angle AMP = \angle BMP = 90^\circ$ (так как $a \perp AB$); - Сторона $MP$ — общая. Следовательно, $\triangle AMP = \triangle BMP$ по двум катетам. Из равенства треугольников следует, что $AP = BP$. Что и требовалось доказать. б) Докажем, что если точка $Q$ равноудалена от $A$ и $B$ ($AQ = BQ$), то она лежит на прямой $a$: 1. Если $Q$ лежит на прямой $AB$, то это может быть только середина $M$ (так как только она делит отрезок пополам), а $M \in a$. 2. Если $Q$ не лежит на $AB$, рассмотрим равнобедренный $\triangle AQB$ (так как $AQ = BQ$): - Проведем в нём медиану $QM$ к основанию $AB$. - По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. - Значит, $QM \perp AB$. Через точку $M$ на прямой $AB$ можно провести только один перпендикуляр. Так как $a \perp AB$ и $QM \perp AB$, то прямая $QM$ совпадает с прямой $a$. Значит, точка $Q$ лежит на прямой $a$. Что и требовалось доказать.