1. Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 12 см и 16 см

1. **Ответ: 10 см** В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба: - Катеты: $d_1/2 = 12/2 = 6$ см, $d_2/2 = 16/2 = 8$ см. - По теореме Пифагора сторона ромба $a$ равна: $$a = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ (см)}$$ 2. **Ответ: 102 см²** В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона является её высотой ($h$). Опустим высоту из вершины тупого угла на большее основание. Она отсечет прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см (большая боковая сторона) и катетом, равным разности оснований: $12 - 4 = 8$ см. Найдем высоту трапеции по теореме Пифагора: $$h = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \text{ (см)}$$ Площадь трапеции: $$S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{4 + 12}{2} \cdot 6 = \frac{16}{2} \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48 \text{ (см)}^2$$ **Допущение:** В тексте задания 2 основания указаны как 4 см и 12 см (цифра '4' частично скрыта краем, но логически следует из контекста типичных задач). 3. **Ответ: 126 см²** Для нахождения площади треугольника по трем сторонам используем формулу Герона. - Стороны: $a = 13$ см, $b = 20$ см, $c = 21$ см. - Полупериметр: $p = \frac{13 + 20 + 21}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см. - Площадь: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$ $$S = \sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)} = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(9 \cdot 3) \cdot (7 \cdot 2) \cdot 7 \cdot (3 \cdot 2)}$$ $$S = \sqrt{9 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot 2^2} = 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 2 = 126 \text{ (см)}^2$$