Построить вектор $\vec{d}(1;-4)$

1. **Постройте:** а) вектор $\vec{d}(1;-4)$: :::div .chart-container @chart-1::: б) вектор $\vec{AB}$, если $A(0;-2)$, $B(3;1)$: Для построения вектора $\vec{AB}$ сначала нужно найти его координаты. Координаты вектора находятся так: из координат конца вычитаются координаты начала. $$ \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (3 - 0; 1 - (-2)) = (3; 3) $$ :::div .chart-container @chart-2::: 2. **Найдите координаты вектора:** а) $\vec{AB}$, если $A(0;-2)$, $B(3;1)$: $$ \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (3 - 0; 1 - (-2)) = (3; 3) $$ **Ответ: (3; 3)** б) $\vec{CD}$, если $C(6;3)$, $D(1;1)$: $$ \vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C) = (1 - 6; 1 - 3) = (-5; -2) $$ **Ответ: (-5; -2)** 3. **Даны два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Вычислите координаты векторов:** если $\vec{d}(2;-4)$, $\vec{b}(-5;3)$: а) $\vec{a} + \vec{b}$: $$ \vec{a} + \vec{b} = (2 + (-5); -4 + 3) = (-3; -1) $$ **Ответ: (-3; -1)** б) $\vec{a} - \vec{b}$: $$ \vec{a} - \vec{b} = (2 - (-5); -4 - 3) = (2 + 5; -4 - 3) = (7; -7) $$ **Ответ: (7; -7)** в) $\vec{a}$ и $4\vec{b}$: Сначала найдём $4\vec{b}$: $$ 4\vec{b} = (4 \cdot (-5); 4 \cdot 3) = (-20; 12) $$ **Ответ: $\vec{a}(2;-4)$, $4\vec{b}(-20;12)$** 4. **Найти длину векторов $\vec{d}(-7;1)$ и $\vec{AB}$, если $A(0;-5)$, $B(5;-2)$.** Для вектора $\vec{d}(-7;1)$: Длина вектора находится по формуле: $$\left|\vec{d}\right| = \sqrt{x^2 + y^2}$$ $$ \left|\vec{d}\right| = \sqrt{(-7)^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} $$ **Ответ: $5\sqrt{2}$** Для вектора $\vec{AB}$, сначала найдём его координаты: $$ \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (5 - 0; -2 - (-5)) = (5; -2 + 5) = (5; 3) $$ Теперь найдём его длину: $$ \left|\vec{AB}\right| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} $$ **Ответ: $\sqrt{34}$** 5. **Найти скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ и угол между ними, если $\vec{d}(-3;2)$, $\vec{b}(1;5)$.** Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ находится по формуле: $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 $$ $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = (-3) \cdot 1 + 2 \cdot 5 = -3 + 10 = 7 $$ **Скалярное произведение: 7** Теперь найдём угол между векторами. Формула для косинуса угла $\theta$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $$ \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left|\vec{a}\right| \cdot \left|\vec{b}\right|} $$ Сначала найдём длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $$ \left|\vec{a}\right| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} $$ $$ \left|\vec{b}\right| = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} $$ Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла: $$ \cos \theta = \frac{7}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{26}} = \frac{7}{\sqrt{13 \cdot 26}} = \frac{7}{\sqrt{13 \cdot 2 \cdot 13}} = \frac{7}{\sqrt{13^2 \cdot 2}} = \frac{7}{13\sqrt{2}} $$ Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $$ \cos \theta = \frac{7\sqrt{2}}{13 \cdot 2} = \frac{7\sqrt{2}}{26} $$ Угол $\theta = \arccos\left(\frac{7\sqrt{2}}{26}\right)$. **Угол между векторами: $\arccos\left(\frac{7\sqrt{2}}{26}\right)$**