В кубе A...D1 найдите угол между прямой DD1 и плоскостью A1BC1.

**Ответ: 45^\circ** **Решение:** 1. Прямая $DD_1$ параллельна прямой $CC_1$, так как это ребра куба. Угол между прямой $DD_1$ и плоскостью $A_1BC_1$ будет равен углу между прямой $CC_1$ и этой же плоскостью. 2. Заметим, что прямая $B_1C_1$ перпендикулярна грани $ABB_1A_1$, а значит, $B_1C_1 \perp A_1B$. Также в квадрате $BCC_1B_1$ диагонали перпендикулярны: $BC_1 \perp B_1C$. 3. Рассмотрим проекцию точки $C$ на плоскость $A_1BC_1$. Точка $C_1$ лежит в этой плоскости. Отрезок $CC_1$ является гипотенузой в прямоугольном равнобедренном треугольнике $CBC_1$ (так как $CB=CC_1$ — ребра куба). 4. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. В кубе вектор нормали к плоскости $A_1BC_1$ направлен вдоль диагонали $D_1B$. 5. Более простой способ: введем координаты. Пусть $B(0,0,0)$, $C(a,0,0)$, $A(0,a,0)$, $B_1(0,0,a)$. Тогда точки плоскости: $A_1(0,a,a)$, $B(0,0,0)$, $C_1(a,0,a)$. Вектор прямой $DD_1$: $\vec{q} = (0,0,a)$. Уравнение плоскости $A_1BC_1$: $x + y - z = 0$. Нормаль к плоскости: $\vec{n} = (1, 1, -1)$. Синус угла $\alpha$ между прямой и плоскостью: $$\sin \alpha = \frac{|\vec{q} \cdot \vec{n}|}{|\vec{q}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + a \cdot (-1)|}{a \cdot \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$ **Допущение:** На изображении представлена стандартная задача на поиск угла между ребром и сечением. Однако, если рассматривать угол именно между $DD_1$ и плоскостью $A_1BC_1$, то он вычисляется через арксинус. Если же в задаче подразумевается плоскость, проходящая через другие вершины (например, $A_1B_1C$ или подобные), ответ может быть иным. Для данной конфигурации: $$\alpha = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \approx 35,26^\circ$$ Если же рассматривать угол между прямой $DD_1$ и плоскостью $BC_1D_1$ (частая задача), то ответ был бы иным. Перепроверим положение плоскости на рисунке: она проходит через $A_1$, $B$ и $C_1$. Это наклонное сечение. Проекция $D_1$ на плоскость $A_1BC_1$ лежит на прямой, перпендикулярной плоскости. **Ответ:** $\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$