В трапеции ABCD через точку O пересечения диагоналей проведён отрезок MN параллельно основаниям AD и BC. Докажи, что отрезок в точке O делится пополам.

1. Чтобы доказать равенство отрезков, воспользуемся подобием треугольников. Рассмотрим $\triangle ABC$. Отрезок $MO \parallel BC$, значит $\triangle AMO \sim \triangle ABC$. Из подобия следует: $$\frac{MO}{BC} = \frac{AO}{AC}$$ Рассмотрим $\triangle BCD$. Отрезок $ON \parallel BC$, значит $\triangle DON \sim \triangle DBC$. Из подобия следует: $$\frac{ON}{BC} = \frac{DO}{DB}$$ Из подобия $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ (по двум углам при параллельных основаниях) имеем: $$\frac{AO}{OC} = \frac{DO}{OB} = \frac{AD}{BC} = \frac{x}{y}$$ Отсюда отношения $\frac{AO}{AC}$ и $\frac{DO}{DB}$ равны между собой: $$\frac{AO}{AC} = \frac{AO}{AO + OC} = \frac{x}{x + y}$$ $$\frac{DO}{DB} = \frac{DO}{DO + OB} = \frac{x}{x + y}$$ Так как $\frac{MO}{y} = \frac{x}{x + y}$ и $\frac{ON}{y} = \frac{x}{x + y}$, получаем: **Ответ:** $MO = ON = \frac{x \cdot y}{x + y}$. 2. Отрезок $MN$ состоит из двух равных частей $MO$ и $ON$: $$MN = MO + ON = 2 \cdot \frac{x \cdot y}{x + y}$$ Подставим значения $AD = x = 9$ см и $BC = y = 3$ см: $$MN = 2 \cdot \frac{9 \cdot 3}{9 + 3} = 2 \cdot \frac{27}{12} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$$ **Ответ:** $MN = \frac{9}{2}$ см.