В параллелограмме ABCD диагонали являются биссектрисами его углов, AB = 37, AC = 70. Найдите длину диагонали BD.

**Ответ: 24** **Решение:** 1. Если в параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов, то такой параллелограмм является **ромбом**. Следовательно, все его стороны равны: $AB = BC = CD = DA = 37$. 2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Пусть точка $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABO$ (где $\angle AOB = 90^\circ$): - Гипотенуза $AB = 37$. - Катет $AO = \frac{AC}{2} = \frac{70}{2} = 35$. 4. Найдем катет $BO$ по теореме Пифагора: $$BO = \sqrt{AB^2 - AO^2}$$ $$BO = \sqrt{37^2 - 35^2} = \sqrt{(37 - 35)(37 + 35)} = \sqrt{2 \cdot 72} = \sqrt{144} = 12$$ 5. Длина диагонали $BD$ в два раза больше отрезка $BO$: $$BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 12 = 24$$