Треугольники ABC и DEF подобны, стороны AC и DF, BC и EF — сходственные. Найдите периметр треугольника DEF, если AB = 7 см, BC = 8 см, AC = 9 см и AB = 2DE.

**Ответ: $P_{DEF} = 12$ см.** **Допущение:** В тексте учебника опечатка в условии "$AB = 2DE$". Исходя из логики подобия и пропусков в решении, должно быть $AB = 2 \cdot DE$, что означает коэффициент подобия $k = 2$. Однако в пропусках для вычисления сторон $DEF$ через стороны $ABC$ (например, $DE = \dots \cdot AB$) логичнее предположить, что $DE$ составляет часть от $AB$. Если $AB = 2DE$, то $DE = \frac{1}{2} AB$. Проанализировав структуру пропусков, заполним их: 1. Из подобия $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ следует равенство углов и пропорциональность сторон: $$\angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F$$ $$\frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = \frac{AB}{DE}$$ 2. Так как по условию $AB = 2DE$, то коэффициент подобия $k = \frac{AB}{DE} = 2$. Отсюда: $DE = \frac{1}{2} \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 7 = 3,5$ см $DF = \frac{1}{2} \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 9 = 4,5$ см $FE = \frac{1}{2} \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см 3. Периметр $P_{DEF}$: $P_{DEF} = DE + DF + FE = 3,5 + 4,5 + 4 = 12$ см 4. Решение через отношение периметров: Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: $$\frac{P_{ABC}}{P_{DEF}} = \frac{AB}{DE} = 2$$ $P_{ABC} = AB + BC + AC = 7 + 8 + 9 = 24$ см $P_{DEF} = \frac{1}{2} \cdot P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot (7 + 8 + 9) = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ см