Найти значение выражения: 1) sin 73° cos 17° + cos 73° sin 17°

485 Для решения этих примеров воспользуемся формулами синуса суммы и разности аргументов: $\sin(x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y$ 1) $\sin 73^\circ \cos 17^\circ + \cos 73^\circ \sin 17^\circ = \sin(73^\circ + 17^\circ) = \sin 90^\circ = 1$ **Ответ: 1** 2) $\sin 73^\circ \cos 13^\circ - \cos 73^\circ \sin 13^\circ = \sin(73^\circ - 13^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ **Ответ: \frac{\sqrt{3}}{2}** 3) $\sin \frac{5\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} + \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{5\pi}{12} = \sin\left(\frac{5\pi}{12} + \frac{\pi}{12}\right) = \sin \frac{6\pi}{12} = \sin \frac{\pi}{2} = 1$ **Ответ: 1** 4) $\sin \frac{7\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12} = \sin\left(\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{12}\right) = \sin \frac{6\pi}{12} = \sin \frac{\pi}{2} = 1$ **Ответ: 1** 486 1) Найдем $\sin \alpha$. Так как $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ (III четверть), синус отрицательный: $\sin \alpha = -\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = -\sqrt{1 - (-\frac{3}{5})^2} = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$ Используем формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) = \sin \alpha \cos \frac{\pi}{6} + \cos \alpha \sin \frac{\pi}{6} = (-\frac{4}{5}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + (-\frac{3}{5}) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{4\sqrt{3} + 3}{10}$ **Ответ: -\frac{4\sqrt{3} + 3}{10}** 2) Найдем $\cos \alpha$. Так как $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (II четверть), косинус отрицательный: $\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{2}}{3})^2} = -\sqrt{1 - \frac{2}{9}} = -\sqrt{\frac{7}{9}} = -\frac{\sqrt{7}}{3}$ Используем формулу синуса разности: $\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \sin \frac{\pi}{4} \cos \alpha - \cos \frac{\pi}{4} \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{7}}{3}) - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} = -\frac{\sqrt{14}}{6} - \frac{2}{6} = -\frac{\sqrt{14} + 2}{6}$ **Ответ: -\frac{\sqrt{14} + 2}{6}**