В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = BC$, высота $AH$ равна $6\sqrt{6}$, $BH=3$. Найдите $\cos BAC$.

1. Треугольник $ABC$ равнобедренный, так как $AC = BC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB$ (так как $AH$ — высота): По теореме Пифагора: $AB^2 = AH^2 + BH^2$ $AB^2 = (6\sqrt{6})^2 + 3^2$ $AB^2 = 36 \cdot 6 + 9$ $AB^2 = 216 + 9$ $AB^2 = 225$ $AB = \sqrt{225} = 15$ Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Мы знаем $AC = BC$. Для нахождения $\cos BAC$ нам нужен $AC$ и $AB$. Воспользуемся теоремой косинусов для угла $B$ в треугольнике $ABC$: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$ Но нам нужно найти $\cos BAC$. Для этого воспользуемся теоремой косинусов для угла $BAC$: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos BAC$ Так как $AC = BC$, подставим $AC$ вместо $BC$: $AC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos BAC$ $0 = AB^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos BAC$ $2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos BAC = AB^2$ $\cos BAC = \frac{AB^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{AB}{2 \cdot AC}$ Мы знаем $AB = 15$. Нужно найти $AC$. Рассмотрим треугольник $AHC$. Это тоже прямоугольный треугольник. Обозначим $CH = x$. Тогда $BC = BH + CH = 3 + x$. Так как $AC = BC$, то $AC = 3 + x$. В прямоугольном треугольнике $AHC$: $AC^2 = AH^2 + CH^2$ $(3+x)^2 = (6\sqrt{6})^2 + x^2$ $9 + 6x + x^2 = 216 + x^2$ $9 + 6x = 216$ $6x = 216 - 9$ $6x = 207$ $x = \frac{207}{6} = 34.5$ Тогда $AC = 3 + x = 3 + 34.5 = 37.5$ Теперь найдем $\cos BAC$: $\cos BAC = \frac{AB}{2 \cdot AC} = \frac{15}{2 \cdot 37.5} = \frac{15}{75} = \frac{1}{5} = 0.2$ **Ответ:** $0.2$