Вычислите значение выражения: $(5 \cdot 10^{2})^{8} \cdot (9 \cdot 10^{-5})^{2}$

Дано выражение: $$ (5 \cdot 10^{2})^{8} \cdot (9 \cdot 10^{-5})^{2} $$ Для начала раскроем скобки, используя свойство степеней $(ab)^n = a^n b^n$: $$ 5^8 \cdot (10^2)^8 \cdot 9^2 \cdot (10^{-5})^2 $$ Затем используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $$ 5^8 \cdot 10^{2 \cdot 8} \cdot 9^2 \cdot 10^{-5 \cdot 2} $$ $$ 5^8 \cdot 10^{16} \cdot 9^2 \cdot 10^{-10} $$ Теперь сгруппируем числа и степени с основанием 10: $$ (5^8 \cdot 9^2) \cdot (10^{16} \cdot 10^{-10}) $$ Вычислим $5^8$, $9^2$ и используем свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $$ 5^8 = 390625 $$ $$ 9^2 = 81 $$ $$ 10^{16} \cdot 10^{-10} = 10^{16 + (-10)} = 10^{16 - 10} = 10^6 $$ Подставим полученные значения обратно в выражение: $$ 390625 \cdot 81 \cdot 10^6 $$ Умножим $390625$ на $81$: $$ 390625 \cdot 81 = 31640625 $$ Получим окончательный результат: $$ 31640625 \cdot 10^6 $$ Это число можно записать в стандартном виде. Перенесем десятичную запятую на 7 знаков влево и увеличим степень 10: $$ 3.1640625 \cdot 10^7 \cdot 10^6 = 3.1640625 \cdot 10^{7+6} = 3.1640625 \cdot 10^{13} $$ **Ответ:** $3.1640625 \cdot 10^{13}$