1. Чтобы найти вероятность того, что случайно выбранная ручка будет синей или чёрной, сначала нужно узнать, сколько всего синих и чёрных ручек.
Всего ручек: 200
Красных ручек: 23
Зелёных ручек: 9
Фиолетовых ручек: 8
Остальные ручки синие и чёрные, их поровну. Значит, количество синих и чёрных ручек вместе:
$$200 - 23 - 9 - 8 = 160$$
Количество синих ручек равно количеству чёрных ручек, то есть:
$$160 \div 2 = 80$$
Значит, синих ручек 80 и чёрных ручек 80.
Вероятность выбрать синюю или чёрную ручку: (количество синих + количество чёрных) / общее количество ручек.
$$P = \frac{80 + 80}{200} = \frac{160}{200} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} = 0,8$$
**Ответ: 0,8**
2. Установим соответствие между графиками функций и формулами.
Функция $y = ax^2 + bx + c$ описывает параболу. Если коэффициент $a > 0$, ветви параболы направлены вверх, если $a < 0$, ветви направлены вниз.
График А) Ветви параболы направлены вверх.
График Б) Ветви параболы направлены вниз.
График В) Ветви параболы направлены вниз.
Рассмотрим формулы:
1) $y = x^2 + 3x + 3$ (коэффициент при $x^2$ равен 1, то есть $a > 0$) - ветви вверх.
2) $y = x^2 - 3x + 3$ (коэффициент при $x^2$ равен 1, то есть $a > 0$) - ветви вверх.
3) $y = -x^2 - 3x + 3$ (коэффициент при $x^2$ равен -1, то есть $a < 0$) - ветви вниз.
4) $y = -x^2 + 3x - 3$ (коэффициент при $x^2$ равен -1, то есть $a < 0$) - ветви вниз.
Значит, графику А) соответствуют формулы 1) или 2).
Найдём вершину параболы для 1) и 2).
Координата x вершины параболы: $x_в = -b / (2a)$.
Для 1) $y = x^2 + 3x + 3$: $x_в = -3 / (2 \cdot 1) = -1,5$.
Для 2) $y = x^2 - 3x + 3$: $x_в = -(-3) / (2 \cdot 1) = 1,5$.
График А) имеет вершину с отрицательной x-координатой ($x_в < 0$). Значит, графику А) соответствует формула 1).
Теперь рассмотрим графики Б) и В). Их ветви направлены вниз, значит, им соответствуют формулы 3) или 4).
Для 3) $y = -x^2 - 3x + 3$: $x_в = -(-3) / (2 \cdot (-1)) = 3 / (-2) = -1,5$.
Для 4) $y = -x^2 + 3x - 3$: $x_в = -(3) / (2 \cdot (-1)) = -3 / (-2) = 1,5$.
График Б) имеет вершину с отрицательной x-координатой ($x_в < 0$). Значит, графику Б) соответствует формула 3).
График В) имеет вершину с положительной x-координатой ($x_в > 0$). Значит, графику В) соответствует формула 4).
Соответствие:
А - 1
Б - 3
В - 4
**Ответ: А-1, Б-3, В-4**
3. Дан числовой набор. Первое число равно 6,2. Каждое следующее число на 0,6 больше предыдущего. Нужно найти пятое число.
Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 6,2$ и разностью $d = 0,6$.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Найдём пятое число $a_5$:
$$a_5 = a_1 + (5-1)d = 6,2 + 4 \cdot 0,6 = 6,2 + 2,4 = 8,6$$
**Ответ: 8,6**
4. Упростим выражение $a^{10} : (a^3)^4$ и найдём его значение при $a = 0,2$.
Сначала упростим выражение, используя свойства степеней:
$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$
$$a^m : a^n = a^{m-n}$$
$$(a^3)^4 = a^{3 \cdot 4} = a^{12}$$
Тогда выражение будет:
$$a^{10} : a^{12} = a^{10-12} = a^{-2}$$
Теперь подставим значение $a = 0,2$:
$$a^{-2} = (0,2)^{-2} = \left(\frac{2}{10}\right)^{-2} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-2}$$
Используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$$\left(\frac{1}{5}\right)^{-2} = 5^2 = 25$$
**Ответ: 25**
5. Решим неравенство $4x - 4 \ge 9x + 6$.
Перенесём все слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую:
$$4x - 9x \ge 6 + 4$$
$$-5x \ge 10$$
Разделим обе части неравенства на -5. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$$x \le \frac{10}{-5}$$
$$x \le -2$$
Решение неравенства - это все числа, которые меньше или равны -2. В виде интервала это выглядит как $(-\infty; -2]$.
Сравним с предложенными вариантами:
1) $[-0,4; +\infty)$
2) $(-\infty; -2]$
3) $[-2; +\infty)$
4) $(-\infty; -0,4]$
Правильный вариант - 2).
**Ответ: 2**
