Решить неравенство $x(x+2)(x-5)(x-7) > 0$

Решим неравенство $x(x+2)(x-5)(x-7) > 0$ 1. Найдем корни каждого множителя, при которых он равен нулю: $x = 0$ $x+2 = 0 \Rightarrow x = -2$ $x-5 = 0 \Rightarrow x = 5$ $x-7 = 0 \Rightarrow x = 7$ 2. Отметим эти точки на числовой прямой: ```mermaid graph TD subgraph Number Line A(-2) --- B(0) --- C(5) --- D(7) end ``` 3. Определим знаки произведения на каждом интервале. Возьмем пробные точки: - Для интервала $(-\infty, -2)$, например, $x = -3$: $(-3)(-3+2)(-3-5)(-3-7) = (-3)(-1)(-8)(-10) = 3 \cdot 80 = 240 > 0$ - Для интервала $(-2, 0)$, например, $x = -1$: $(-1)(-1+2)(-1-5)(-1-7) = (-1)(1)(-6)(-8) = -1 \cdot 48 = -48 < 0$ - Для интервала $(0, 5)$, например, $x = 1$: $(1)(1+2)(1-5)(1-7) = (1)(3)(-4)(-6) = 3 \cdot 24 = 72 > 0$ - Для интервала $(5, 7)$, например, $x = 6$: $(6)(6+2)(6-5)(6-7) = (6)(8)(1)(-1) = 48 \cdot (-1) = -48 < 0$ - Для интервала $(7, +\infty)$, например, $x = 8$: $(8)(8+2)(8-5)(8-7) = (8)(10)(3)(1) = 80 \cdot 3 = 240 > 0$ 4. Поскольку неравенство $ > 0$, выбираем интервалы, где произведение положительно. **Ответ:** $x \in (-\infty; -2) \cup (0; 5) \cup (7; +\infty)$