В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ стороны $AB = 4$, $BC = 5$, $AC = 6$, $A_1B_1 = 8$, $B_1C_1 = 10$, $\angle B = \angle B_1$. Докажите подобие треугольников и найдите $A_1C_1$.

Нарисуем два треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$ с указанными сторонами и углами. :::div .chart-container @chart-1::: Чтобы доказать подобие треугольников, воспользуемся вторым признаком подобия: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны. Проверим пропорциональность сторон: $$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$ $$\frac{BC}{B_1C_1} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$ Мы видим, что $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{1}{2}$. Также дано, что $\angle B = \angle B_1$. Так как две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы между этими сторонами равны, то треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны по второму признаку подобия треугольников. Теперь найдём сторону $A_1C_1$. Из подобия треугольников следует, что отношения соответствующих сторон равны: $$\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1}$$ Мы знаем, что коэффициент подобия равен $\frac{1}{2}$. Значит, $\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{1}{2}$. Подставим значение $AC = 6$: $$\frac{6}{A_1C_1} = \frac{1}{2}$$ Отсюда находим $A_1C_1$: $$A_1C_1 = 6 \times 2 = 12$$ **Ответ:** $A_1C_1 = 12$