1. Пусть вписанный угол равен $\alpha$.
Тогда центральный угол равен $2\alpha$. По условию, центральный угол на $36^{\circ}$ больше вписанного, то есть:
$$2\alpha = \alpha + 36^{\circ}$$
$$\alpha = 36^{\circ}$$
Центральный угол равен $2\alpha = 2 \cdot 36^{\circ} = 72^{\circ}$.
**Ответ: $72^{\circ}$**
2. Пусть стороны прямоугольника будут $a$ и $b$. Площадь прямоугольника $S = a \cdot b$.
По условию, $S = 60$, и одна из сторон, например, $a = 5$.
Значит, $5 \cdot b = 60$, откуда $b = 12$.
Диагональ прямоугольника $d$ можно найти по теореме Пифагора:
$$d^2 = a^2 + b^2$$
$$d^2 = 5^2 + 12^2$$
$$d^2 = 25 + 144$$
$$d^2 = 169$$
$$d = \sqrt{169}$$
$$d = 13$$
**Ответ: 13**
3. Так как луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$, то угол $CMD$ равен углу $DMB$. Обозначим их за $x$: $\angle CMD = \angle DMB = x$.
Угол $CMB$ является смежным с углом $CMA$. Сумма смежных углов равна $180^{\circ}$.
$\angle CMB + \angle CMA = 180^{\circ}$
$\angle CMB + 122^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle CMB = 180^{\circ} - 122^{\circ}$
$\angle CMB = 58^{\circ}$
Так как $\angle CMB = 2x$, то $2x = 58^{\circ}$, откуда $x = 29^{\circ}$.
Таким образом, $\angle DMB = 29^{\circ}$.
**Ответ: $29^{\circ}$**
4. В окружности с центром $O$ проведен диаметр $AB$. Точка $C$ на окружности, так что $\angle COB = 120^{\circ}$.
Радиусы $OC$ и $OB$ равны.
В треугольнике $COB$: $OC = OB = R$. Так как $\angle COB = 120^{\circ}$, то треугольник $COB$ равнобедренный.
Угол $\angle COA$ является смежным с $\angle COB$. Значит $\angle COA = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.
Треугольник $AOC$ равнобедренный ($AO = OC = R$). Так как угол при вершине $O$ равен $60^{\circ}$, то углы при основании $AC$ тоже равны: $\angle OAC = \angle OCA = (180^{\circ} - 60^{\circ})/2 = 60^{\circ}$.
Значит, треугольник $AOC$ равносторонний, и $AC = AO = OC = R$.
По условию $AC = 19$, значит $R = 19$.
Диаметр окружности равен $2R$.
Диаметр $= 2 \cdot 19 = 38$.
**Ответ: 38**
5. **Допущение:** трапеция равнобокая, так как иначе нельзя однозначно определить площадь.
Основания трапеции $a=16$ и $b=22$. Боковая сторона $c=10$. Угол, образуемый боковой стороной с одним из оснований, равен $150^{\circ}$. Пусть этот угол при большем основании, то есть тупой угол.
Проведем высоту $h$ из вершины тупого угла к большему основанию.
Угол между боковой стороной и большим основанием равен $150^{\circ}$. Соседний с ним острый угол при основании (между высотой и боковой стороной) будет $180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой и отрезком большего основания.
В этом треугольнике высота $h$ лежит против угла $30^{\circ}$, значит $h = c \cdot \sin(30^{\circ}) = 10 \cdot 0.5 = 5$.
Длина отрезка большего основания, который образует этот прямоугольный треугольник, равна $x = c \cdot \cos(30^{\circ}) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$.
Однако, для вычисления площади нужна только высота. Разность оснований $b-a = 22-16 = 6$. В равнобокой трапеции этот отрезок делится на 2 равные части по бокам, то есть $(b-a)/2 = 6/2 = 3$. И этот отрезок должен быть $x$.
Возникло противоречие: $5\sqrt{3} \neq 3$.
Значит, дан угол $150^{\circ}$ между боковой стороной и **меньшим** основанием.
В этом случае, если провести высоту из вершины тупого угла к большему основанию, то она отсечет прямоугольный треугольник.
Острый угол при большем основании будет $180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$.
Высота $h = c \cdot \sin(30^{\circ}) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$.
Площадь трапеции $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.
$$S = \frac{16+22}{2} \cdot 5$$
$$S = \frac{38}{2} \cdot 5$$
$$S = 19 \cdot 5$$
$$S = 95$$
**Ответ: 95**
6. В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $C=90^{\circ}$), нам даны стороны $AB = 4$ (гипотенуза) и $BC = 2$ (катет).
Нужно найти $\sin A$.
Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
Для угла $A$ противолежащим катетом является $BC$, а гипотенузой $AB$.
$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
$$\sin A = \frac{2}{4}$$
$$\sin A = \frac{1}{2}$$
**Ответ: $0.5$**
7. В трапеции $ABCD$ известно, что $AB \parallel CD$, $\angle BDA = 45^{\circ}$ и $\angle BDC = 23^{\circ}$.
Найти угол $ABD$.
Так как $AB \parallel CD$, то углы $\angle ABD$ и $\angle BDC$ являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BD$.
По свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы равны.
Значит, $\angle ABD = \angle BDC$.
$\,\angle ABD = 23^{\circ}$.
**Ответ: $23^{\circ}$**
