Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, длина диагонали AC равна 6 см. Найдите длину отрезка AM, если точка M лежит на продолжении стороны AD.

1. Угол $\angle BAM = 180^\circ - \angle BAD$. Поскольку $BM$ — высота, проведённая из вершины $B$ к продолжению стороны $AD$, то $BM \perp AM$, значит, $\triangle ABM$ — прямоугольный. \n2. В прямоугольном $\triangle ABM$ угол $\angle MBA = 30^\circ$. \n Тогда $\angle BAM = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. \n3. Угол $\angle BAD$ ромба $ABCD$ равен $180^\circ - \angle BAM = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. \n4. В ромбе $ABCD$ все стороны равны, то есть $AB = AD$. \n Диагональ $AC = 6$ см. \n Рассмотрим $\triangle ABD$. Так как $AB = AD$, он равнобедренный. \n Угол $\angle BAD = 120^\circ$. \n Углы при основании: $\angle ABD = \angle ADB = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$. \n5. Рассмотрим $\triangle ABC$. $AB = BC$. Угол $\angle ABC = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. \n Так как $\triangle ABC$ равнобедренный с углом $60^\circ$ между равными сторонами, то он равносторонний. \n Значит, $AB = BC = AC = 6$ см. \n6. В прямоугольном $\triangle ABM$: \n $AM = AB \cdot \cos(\angle BAM) = 6 \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см. \n\n**Ответ:** 3