Решите задачу: Сумма квадратов сторон прямоугольника равна 45 см^2, а его периметр 18 см. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника будут $a$ и $b$. По условию задачи: 1. Сумма квадратов сторон прямоугольника равна 45 см$^2$: $$a^2 + b^2 = 45$$ 2. Периметр прямоугольника равен 18 см: $$2(a+b) = 18$$ Из второго уравнения найдем сумму сторон: $$a+b = \frac{18}{2}$$ $$a+b = 9$$ Теперь у нас есть система уравнений: $$\begin{cases} a^2 + b^2 = 45 \\ a + b = 9 \end{cases}$$ Из второго уравнения выразим $b$: $b = 9 - a$. Подставим это в первое уравнение: $$a^2 + (9-a)^2 = 45$$ $$a^2 + (81 - 18a + a^2) = 45$$ $$2a^2 - 18a + 81 - 45 = 0$$ $$2a^2 - 18a + 36 = 0$$ Разделим все на 2: $$a^2 - 9a + 18 = 0$$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18$$ $$D = 81 - 72$$ $$D = 9$$ Найдем корни уравнения: $$a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$a_1 = \frac{9 - \sqrt{9}}{2} = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$a_2 = \frac{9 + \sqrt{9}}{2} = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ Если $a=3$, то $b = 9 - 3 = 6$. Если $a=6$, то $b = 9 - 6 = 3$. Таким образом, стороны прямоугольника равны 3 см и 6 см. **Ответ:** 3 см и 6 см.