6. Найдите значение выражения: $$\left(3\frac{1}{7} - 2\frac{1}{3}\right) : 1\frac{1}{21}$$ Переведём смешанные дроби в неправильные: $$\frac{22}{7} - \frac{7}{3}$$ Приведём к общему знаменателю (21): $$\frac{22 \cdot 3}{7 \cdot 3} - \frac{7 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{66}{21} - \frac{49}{21} = \frac{17}{21}$$ Теперь деление: $$\frac{17}{21} : 1\frac{1}{21} = \frac{17}{21} : \frac{22}{21} = \frac{17}{21} \cdot \frac{21}{22} = \frac{17}{22}$$ **Ответ: $\frac{17}{22}$**
7. Чтобы определить, какое из чисел $\sqrt{6}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{35}$ и $\sqrt{42}$ принадлежит промежутку $[6; 7]$, нужно сравнить эти числа с границами промежутка. Границы промежутка можно представить как $\sqrt{36}$ и $\sqrt{49}$.
- $\sqrt{6}$: $6 < 36$, поэтому $\sqrt{6} < \sqrt{36} = 6$. Не подходит.
- $\sqrt{7}$: $7 < 36$, поэтому $\sqrt{7} < \sqrt{36} = 6$. Не подходит.
- $\sqrt{35}$: $35 < 36$, поэтому $\sqrt{35} < \sqrt{36} = 6$. Не подходит.
- $\sqrt{42}$: $36 < 42 < 49$, поэтому $\sqrt{36} < \sqrt{42} < \sqrt{49}$, то есть $6 < \sqrt{42} < 7$. Подходит.
**Ответ: 4**
8. Найдите значение выражения $8^6 : 4^7$. Для этого нужно привести основания степеней к одному числу, например, к 2. $8 = 2^3$, $4 = 2^2$.
$$(2^3)^6 : (2^2)^7 = 2^{3 \cdot 6} : 2^{2 \cdot 7} = 2^{18} : 2^{14}$$ При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:
$$2^{18-14} = 2^4 = 16$$ **Ответ: 16**
9. Решите уравнение $2x^2 = 7x + 9$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$: $$2x^2 - 7x - 9 = 0$$
Теперь найдём дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121$$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Корни находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$$x_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 11}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$
$$x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 11}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4.5$$
Меньший из корней равен -1.
**Ответ: -1**
10. В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 4 спортсмена из Сербии и 8 спортсменов из Китая. Всего спортсменов: $13 + 4 + 8 = 25$. Жеребьевка определяет порядок старта.
Нужно найти вероятность того, что первый будет стартовать спортсмен НЕ из России.
Число спортсменов НЕ из России: $4 (Сербия) + 8 (Китай) = 12$.
Общее число спортсменов: $25$.
Вероятность того, что первый будет стартовать спортсмен НЕ из России, равна отношению числа спортсменов НЕ из России к общему числу спортсменов: $$\frac{12}{25} = 0.48$$
**Ответ: 0.48**
11. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Графики представляют собой параболы. Общий вид квадратной функции $y = ax^2 + bx + c$.
Коэффициент $a$ определяет направление ветвей параболы:
- Если $a > 0$, ветви направлены вверх.
- Если $a < 0$, ветви направлены вниз.
Вершина параболы находится в точке $(x_в, y_в)$, где $x_в = -\frac{b}{2a}$.
Рассмотрим функции:
1) $y = -x^2 + 2x + 5$
$a = -1$ (ветви вниз).
$x_в = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = \frac{-2}{-2} = 1$.
$y_в = -(1)^2 + 2(1) + 5 = -1 + 2 + 5 = 6$.
Вершина в точке $(1; 6)$. Соответствует графику А.
2) $y = -x^2 - 2x + 5$
$a = -1$ (ветви вниз).
$x_в = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{-2} = -1$.
$y_в = -(-1)^2 - 2(-1) + 5 = -1 + 2 + 5 = 6$.
Вершина в точке $(-1; 6)$. Соответствует графику В.
3) $y = x^2 + 2x - 5$
$a = 1$ (ветви вверх).
$x_в = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
$y_в = (-1)^2 + 2(-1) - 5 = 1 - 2 - 5 = -6$.
Вершина в точке $(-1; -6)$. Соответствует графику Б.
Таким образом:
А - 1
Б - 3
В - 2
**Ответ: А-1, Б-3, В-2**
