Реши задачу: Вне плоскости ромба $ABCD$ отмечена точка $M$ так, что $MA \perp AC$, $BD \perp MC$. $MA = 8$, $MD = 10$. Найди $CD$.

1. Диагонали ромба перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. 2. Из условия известно, что $MA \perp AC$. Так как $MA$ перпендикулярна $AC$, и $BD$ перпендикулярна $AC$ (диагонали ромба), то $AC$ перпендикулярна плоскости, содержащей $MA$ и $BD$. 3. Рассмотрим прямую $AC$ и плоскость, содержащую $MA$ и $BD$. Поскольку $AC$ перпендикулярна $MA$ и $AC$ перпендикулярна $BD$, то $AC$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку пересечения $AC$ и этой плоскости. 4. Из условия также известно, что $BD \perp MC$. Мы знаем, что $BD$ перпендикулярна $AC$ (диагонали ромба). Если прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $MC$ в плоскости $AMC$, то $BD$ перпендикулярна всей плоскости $AMC$. 5. Так как $BD \perp AMC$, то $BD$ перпендикулярна любой прямой в плоскости $AMC$, а значит, $BD \perp MA$. 6. У нас есть, что $MA \perp AC$ и $MA \perp BD$. Так как $AC$ и $BD$ - пересекающиеся прямые в плоскости ромба, то $MA$ перпендикулярна плоскости ромба $ABCD$. 7. Поскольку $MA$ перпендикулярна плоскости $ABCD$, то $MA$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, включая $AD$ и $CD$. 8. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MAD$. По теореме Пифагора: $$MD^2 = MA^2 + AD^2$$ $$10^2 = 8^2 + AD^2$$ $$100 = 64 + AD^2$$ $$AD^2 = 100 - 64$$ $$AD^2 = 36$$ $$AD = \sqrt{36}$$ $$AD = 6$$ 9. Поскольку $ABCD$ — ромб, все его стороны равны, то есть $AB = BC = CD = AD$. Значит, $CD = AD = 6$. **Ответ: 6**