Решите неравенства: а) 1) $x^2 - 9 > 0$

а) 1) $x^2 - 9 > 0$ $(x-3)(x+3) > 0$ Решаем методом интервалов: Корни: $x = 3$, $x = -3$ На числовой прямой отмечаем точки $-3$ и $3$. Интервалы: $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$, $(3; +\infty)$. Проверяем знаки: При $x = -4$: $(-4-3)(-4+3) = (-7)(-1) = 7 > 0$ При $x = 0$: $(0-3)(0+3) = (-3)(3) = -9 < 0$ При $x = 4$: $(4-3)(4+3) = (1)(7) = 7 > 0$ Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля. **Ответ: $(-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$** 2) $\frac{x^2(x-2)}{8x+4} < 0$ Находим нули числителя и знаменателя: $x^2 = 0 \implies x = 0$ (корень кратности 2) $x-2 = 0 \implies x = 2$ $8x+4 = 0 \implies 8x = -4 \implies x = -\frac{4}{8} \implies x = -\frac{1}{2}$ Отмечаем эти точки на числовой прямой: $- \frac{1}{2}$, $0$, $2$. Точки $x = -\frac{1}{2}$ и $x=0$ выколоты, так как неравенство строгое и $x = -\frac{1}{2}$ делает знаменатель равным нулю, а $x = 0$ делает все выражение равным нулю. Точка $x=2$ тоже выколота. Интервалы: $(-\infty; -\frac{1}{2})$, $(-\frac{1}{2}; 0)$, $(0; 2)$, $(2; +\infty)$. Проверяем знаки на интервалах. Так как $x^2$ всегда неотрицателен, он не влияет на знак, кроме самой точки $x=0$. Однако, так как неравенство строгое, $x=0$ не является решением. Можно рассмотреть знак только от $(x-2)$ и $(8x+4)$. При $x < -\frac{1}{2}$ (например, $x=-1$): $\frac{(-1)^2(-1-2)}{8(-1)+4} = \frac{1(-3)}{-8+4} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4} > 0$ При $- \frac{1}{2} < x < 0$ (например, $x=-0.25$): $\frac{(-0.25)^2(-0.25-2)}{8(-0.25)+4} = \frac{+ \cdot (-2.25)}{-2+4} = \frac{-}{+} < 0$ При $0 < x < 2$ (например, $x=1$): $\frac{1^2(1-2)}{8(1)+4} = \frac{1(-1)}{12} = -\frac{1}{12} < 0$ При $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{3^2(3-2)}{8(3)+4} = \frac{9(1)}{24+4} = \frac{9}{28} > 0$ Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля. **Ответ: $(-\frac{1}{2}; 0) \cup (0; 2)$** б) $(\frac{1}{8})^{x^2+1} > (\frac{1}{32})^{2x}$ Приводим основания к одному виду. $8 = 2^3$, $32 = 2^5$. Значит, $\frac{1}{8} = 2^{-3}$ и $\frac{1}{32} = 2^{-5}$. $(2^{-3})^{x^2+1} > (2^{-5})^{2x}$ $2^{-3(x^2+1)} > 2^{-5 \cdot 2x}$ $2^{-3x^2-3} > 2^{-10x}$ Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется при переходе к показателям: $-3x^2 - 3 > -10x$ $3x^2 - 10x + 3 < 0$ Найдём корни квадратного уравнения $3x^2 - 10x + 3 = 0$ с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4(3)(3) = 100 - 36 = 64$ $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2(3)} = \frac{10 \pm 8}{6}$ $x_1 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ $x_2 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$ Парабола $y = 3x^2 - 10x + 3$ ветвями вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $3 > 0$. Значит, $3x^2 - 10x + 3 < 0$ при значениях $x$ между корнями. **Ответ: $(\frac{1}{3}; 3)$** в) $\log_3(5-4x) < \log_3(x-1)$ Сначала найдём область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными: 1) $5-4x > 0 \implies 5 > 4x \implies x < \frac{5}{4}$ 2) $x-1 > 0 \implies x > 1$ Объединяем условия: $1 < x < \frac{5}{4}$. Так как основание логарифма $3 > 1$, знак неравенства сохраняется: $5-4x < x-1$ $5+1 < x+4x$ $6 < 5x$ $x > \frac{6}{5}$ Теперь учтём ОДЗ: $1 < x < \frac{5}{4}$ и $x > \frac{6}{5}$ Переведём дроби в десятичные или к общему знаменателю для удобства сравнения: $\frac{5}{4} = 1.25$ $\frac{6}{5} = 1.2$ Значит, ОДЗ: $1 < x < 1.25$ И решение неравенства: $x > 1.2$ Пересечение этих двух условий: $1.2 < x < 1.25$ **Ответ: $(1.2; 1.25)$ или $(\frac{6}{5}; \frac{5}{4})$**