Два экскаватора, работая одновременно, выполняют некоторый объем земляных работ за 3 часа 45 минут. Один экскаватор, работая отдельно, может выполнить этот объем работ на 4 часа быстрее, чем другой. Сколько времени требуется каждому экскаватору в отдельности для выполнения того же объема земляных работ?

Пусть $t_1$ — время, за которое первый экскаватор выполнит объем работ, и $t_2$ — время, за которое второй экскаватор выполнит тот же объем работ. Скорость работы первого экскаватора: $$\frac{1}{t_1}$$ Скорость работы второго экскаватора: $$\frac{1}{t_2}$$ Время совместной работы — 3 часа 45 минут, что равно $3 + \frac{45}{60} = 3 + \frac{3}{4} = 3.75$ часа. При совместной работе их общая скорость равна: $$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{3.75}$$ Также известно, что один экскаватор работает на 4 часа быстрее другого. Пусть первый экскаватор работает быстрее, тогда: $$t_1 = t_2 - 4$$ Подставим $t_1$ в уравнение совместной работы: $$\frac{1}{t_2 - 4} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{3.75}$$ Приведем к общему знаменателю: $$\frac{t_2 + (t_2 - 4)}{t_2(t_2 - 4)} = \frac{1}{3.75}$$ $$\frac{2t_2 - 4}{t_2^2 - 4t_2} = \frac{1}{3.75}$$ Перекрестное умножение: $$3.75(2t_2 - 4) = t_2^2 - 4t_2$$ $$7.5t_2 - 15 = t_2^2 - 4t_2$$ Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$t_2^2 - 4t_2 - 7.5t_2 + 15 = 0$$ $$t_2^2 - 11.5t_2 + 15 = 0$$ Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей: $$2t_2^2 - 23t_2 + 30 = 0$$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-23)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 30$$ $$D = 529 - 240$$ $$D = 289$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$$ Найдем корни $t_2$: $$t_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$t_2 = \frac{23 \pm 17}{2 \cdot 2}$$ $$t_2 = \frac{23 \pm 17}{4}$$ Два возможных значения для $t_2$: $$t_{2,1} = \frac{23 + 17}{4} = \frac{40}{4} = 10$$ $$t_{2,2} = \frac{23 - 17}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$$ Если $t_2 = 1.5$ часа, то $t_1 = t_2 - 4 = 1.5 - 4 = -2.5$ часа. Время не может быть отрицательным, поэтому этот корень не подходит. Если $t_2 = 10$ часов, то $t_1 = t_2 - 4 = 10 - 4 = 6$ часов. Проверим: $$\frac{1}{6} + \frac{1}{10} = \frac{5}{30} + \frac{3}{30} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$$ $$\frac{1}{3.75} = \frac{1}{\frac{15}{4}} = \frac{4}{15}$$ Оба значения подходят. **Ответ:** одному экскаватору требуется 6 часов, а другому 10 часов.