Решить примеры.

а) Сначала нужно сложить целые части и отдельно дробные: $$2\frac{4}{7} + 31 + 4\frac{13}{21} + 5\frac{3}{7} + 3\frac{1}{14} + \frac{8}{21}$$ Целые части: $2 + 31 + 4 + 5 + 3 = 45$ Дробные части: $\frac{4}{7} + \frac{13}{21} + \frac{3}{7} + \frac{1}{14} + \frac{8}{21}$ Приведем все дроби к общему знаменателю, который равен 42: $\frac{4}{7} = \frac{4 \times 6}{7 \times 6} = \frac{24}{42}$ $\frac{13}{21} = \frac{13 \times 2}{21 \times 2} = \frac{26}{42}$ $\frac{3}{7} = \frac{3 \times 6}{7 \times 6} = \frac{18}{42}$ $\frac{1}{14} = \frac{1 \times 3}{14 \times 3} = \frac{3}{42}$ $\frac{8}{21} = \frac{8 \times 2}{21 \times 2} = \frac{16}{42}$ Складываем дробные части: $$\frac{24}{42} + \frac{26}{42} + \frac{18}{42} + \frac{3}{42} + \frac{16}{42} = \frac{24+26+18+3+16}{42} = \frac{87}{42}$$ Выделим целую часть из неправильной дроби: $$\frac{87}{42} = 2\frac{3}{42} = 2\frac{1}{14}$$ Теперь сложим целую часть, которую мы получили ранее, с целой частью из дробей: $$45 + 2\frac{1}{14} = 47\frac{1}{14}$$ **Ответ: $47\frac{1}{14}$** б) Сначала переведем все числа в десятичные дроби или обыкновенные. Проще перевести все в десятичные. $7\frac{7}{20} = 7 + \frac{7}{20} = 7 + 0.35 = 7.35$ $3\frac{4}{5} = 3 + \frac{4}{5} = 3 + 0.8 = 3.8$ Выполним действия: $7.35 - 4.75 + 3.8 = 2.6 + 3.8 = 6.4$ **Ответ: $6.4$** в) Сначала выполняем действия в скобках. Переведем смешанные числа в неправильные дроби или приведем дробные части к общему знаменателю. $5\frac{1}{9} + 2\frac{2}{15}$ Общий знаменатель для 9 и 15 — это 45. $5\frac{1}{9} = 5\frac{1 \times 5}{9 \times 5} = 5\frac{5}{45}$ $2\frac{2}{15} = 2\frac{2 \times 3}{15 \times 3} = 2\frac{6}{45}$ Складываем: $5\frac{5}{45} + 2\frac{6}{45} = (5+2) + (\frac{5}{45} + \frac{6}{45}) = 7 + \frac{11}{45} = 7\frac{11}{45}$ Теперь вычтем это из $9\frac{7}{15}$: $9\frac{7}{15} - 7\frac{11}{45}$ Приведем дробные части к общему знаменателю 45: $9\frac{7}{15} = 9\frac{7 \times 3}{15 \times 3} = 9\frac{21}{45}$ Вычитаем: $9\frac{21}{45} - 7\frac{11}{45} = (9-7) + (\frac{21}{45} - \frac{11}{45}) = 2 + \frac{10}{45} = 2\frac{10}{45}$ Сократим дробь $\frac{10}{45}$ на 5: $\frac{10}{45} = \frac{10 \div 5}{45 \div 5} = \frac{2}{9}$ Значит, $2\frac{2}{9}$ **Ответ: $2\frac{2}{9}$** г) Сначала выполним действия в скобках: $22\frac{8}{9} + 2\frac{1}{7}$ Общий знаменатель для 9 и 7 — это 63. $22\frac{8}{9} = 22\frac{8 \times 7}{9 \times 7} = 22\frac{56}{63}$ $2\frac{1}{7} = 2\frac{1 \times 9}{7 \times 9} = 2\frac{9}{63}$ Складываем: $22\frac{56}{63} + 2\frac{9}{63} = (22+2) + (\frac{56}{63} + \frac{9}{63}) = 24 + \frac{65}{63}$ Выделим целую часть из $\frac{65}{63}$: $$\frac{65}{63} = 1\frac{2}{63}$$ Значит, $24 + 1\frac{2}{63} = 25\frac{2}{63}$ Теперь вычтем $9\frac{5}{9}$ из полученного результата: $25\frac{2}{63} - 9\frac{5}{9}$ Приведем дробные части к общему знаменателю 63: $9\frac{5}{9} = 9\frac{5 \times 7}{9 \times 7} = 9\frac{35}{63}$ Вычитаем: $25\frac{2}{63} - 9\frac{35}{63}$ Так как $\frac{2}{63}$ меньше, чем $\frac{35}{63}$, займем единицу у целой части 25: $25\frac{2}{63} = 24 + 1 + \frac{2}{63} = 24 + \frac{63}{63} + \frac{2}{63} = 24\frac{65}{63}$ Теперь вычитаем: $24\frac{65}{63} - 9\frac{35}{63} = (24-9) + (\frac{65}{63} - \frac{35}{63}) = 15 + \frac{30}{63}$ Сократим дробь $\frac{30}{63}$ на 3: $\frac{30}{63} = \frac{30 \div 3}{63 \div 3} = \frac{10}{21}$ Значит, $15\frac{10}{21}$ **Ответ: $15\frac{10}{21}$**