В ромбе $ABCD$ угол $\angle A = 60^\circ$, а высота равна $\frac{3\sqrt{3}}{2}$. На продолжении стороны $AB$ за точку $B$ взята точка $M$, $BM = 4$. Отрезок $MD$ пересекает $BC$ в точке $K$. В каком отношении точка $K$ делит отрезок $BC$?

1. Найдем сторону ромба $a$. Пусть $h$ — высота ромба. В ромбе $ABCD$ угол $\angle A = 60^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной ромба, высотой и частью другой стороны. В таком треугольнике катет, противолежащий углу $60^\circ$, равен высоте. Тогда $h = a \cdot \sin(60^\circ)$. Нам дано, что $h = \frac{3\sqrt{3}}{2}$. $$a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$ Отсюда $a = 3$. 2. Рассмотрим треугольники $\triangle KBM$ и $\triangle KDC$. Так как $ABCD$ — ромб, $AB \parallel DC$. Из этого следует, что $\angle MBK = \angle KCD$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $MC$). Также $\angle BKM = \angle CKD$ (как вертикальные углы). Таким образом, $\triangle KBM \sim \triangle KDC$ по двум углам. 3. Запишем отношение сходственных сторон: $$\frac{BK}{KC} = \frac{BM}{CD} = \frac{KM}{KD}$$ 4. Известно, что $BM = 4$ и $CD = a = 3$ (сторона ромба). Подставим эти значения в отношение: $$\frac{BK}{KC} = \frac{4}{3}$$ **Ответ:** Точка $K$ делит отрезок $BC$ в отношении $BK:KC = 4:3$.